必修五第三章不等式知识点+例题+练习+答案.pdf

第 1 页不等式知识点复习及例题+练习+答案一、不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性：abba(2) 传递性：cacbba,(3) 加法法则：cbcaba；dbcadcba,( 同向可加 ) (4) 乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0( 同向同正可乘 ) (5) 倒数法则：baabba110,(6) 乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7) 开方法则：)1*(0nNnbabann且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式例题：题型一：不等式的性质1.对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0 则若；baabba则若,0；baba则若, 0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab其中正确的命题是 _ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设0 xy，比较22()()xyxy与22()()xyxy的大小；第 2 页3.比较 1+3logx与)10(2log2xxx且的大小题型三：求范围4.已知31ba，42ba，求ba32的取值范围。

练习：1. 已知 a，b 为非零实数，且ab，则下列命题成立的是() Aa2b2Ba2bab2 C 2a2b1b2. 如果0a，0b，则下列不等式中正确的是（）A11abBabC22abDab3. 设 a、b、c、 dR，且 ab，cd，则下列结论中正确的是() A.acbdBa cbd CacbdD.adbc4. 下列命题中正确的是（）A若ab，则22acbcB若ab，cd，则acbdC若0ab，ab，则11abD若ab，cd，则abcd5. 用“”“”号填空：如果0abc，那么ca_cb6. 已知a，b，c，d均为实数，且0ab，cdab，则下列不等式中成立的是（）AbcadBbcadCabcdDabcd第 3 页7. 已知实数a和b均为非负数，下面表达正确的是（）A0a且0bB0a或0bC0a或0bD0a且0b8. 设,a bR，若| 0ab，则下列不等式中正确的是（）A、0baB、330abC、220abD、0ba9已知,a b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是( ) A、22abB、22a babC、2211aba bD、baab10. 若0,0ab,且2ab，则（）A12abB12abC222abD223ab二、解不等式1一元二次不等式的解法一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R 的解集)0(02acbxax21xxxx第 4 页2简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （ 3）根据曲线显现( )f x的符号变化规律，写出不等式的解集。

如： xxx1120233分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母 ) ( )0( )( )0( ) ( )0;0( )0( )( )f x g xf xf xf x g xg xg xg x例 1 解下列不等式（1）23440 xx（2）213022xx（3）21322xxxx（4）2232142xx点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较. 例 2. 不等式22032xxx的解集是第 5 页练习：1.不等式 2x2x10 的解集是（）A、B、 （1，+ ） C、 （ ，1）（ 2， + ）D、 （1， +）2不等式31xx的解集为（） A B C 或D3. 若不等式02cbxx的解集是 13xxx或，则 b=_ _ c=_ _. 4. 不等式220axbx解集为1123x，则 a， b 值分别为5.不等式的解为6.不等式的解为7.不等式25123xxx的解为8.不等式2120axbx的解集为 x|-1x2，则a=_, b=_ 9.函数)1(log221xy的定义域为10.关于x的不等式0bax的解集为), 1(，则关于x的不等式02xbax的解为4. 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：（1）按2x项的系数a的符号分类，即0,0,0aaa; 例 1 解不等式：0122xaax分析： 本题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项系数进行分类讨论。

第 6 页（2）按判别式的符号分类，即0,0, 0；例 2 解不等式042axx分析本题中由于2x的系数大于0, 故只需考虑与根的情况3）按方程02cbxax的根21, xx的大小来分类，即212121,xxxxxx；例 3 解不等式2(1)0 xaxa例 4.解关于 x 的不等式2(1)10axax第 7 页例 5 解不等式)0(01)1(2axaax分析：此不等式可以分解为：0)1(axax， 故对应的方程必有两解本题只需讨论两根的大小即可思维点拨 : 含参数不等式, 应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论, 要做到不重不漏. 5. 不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1). 恒成立问题若不等式Axf在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上minfxA若不等式Bxf在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上maxfxB2).能成立问题若在区间 D 上存在实数x使不等式Axf成立, 则等价于在区间 D 上maxfxA ；若在区间 D 上存在实数x使不等式Bxf成立, 则等价于在区间 D 上的minfxB .3).恰成立问题若不等式Axf在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为 D ；若不等式Bxf在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为 D . 练习：1. 若关于 x 的不等式 a x2+ a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是2. 若关于x的不等式210,axaxa的解集为R，则a的取值范围是3.若不等式22210 xmxm对 01x的所有实数x都成立，求m的取值范围 . 第 8 页4.已知0,0 xy且191xy，求使不等式 xym恒成立的实数m的取值范围。

三、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C =0某一侧所有点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C =0 同一侧的所有点 (yx,) ，把它的坐标（yx,) 代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+ By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域. （特殊地，当 C0 时，常把 原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数 ：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题 ：一般地，求线性目标函数性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解类 型 总 结 ：（ 1） 求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围第 9 页例 1若 x、 y 满 足 约 束 条 件222xyxy， 则 z=x+2y的 取 值 范 围 是 （）A、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （ 3,5 （ 2） 求 可 行 域 的 面 积例 2. 不 等 式 组260302xyxyy表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 （）A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大（ 3） 求 可 行 域 中 整 点 个 数例 3. 满 足 |x| |y| 2 的 点 （ x ， y ） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （）A、 9 个B、 10 个C、 13 个D、 14 个（ 4） 求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围例4. 已知平面区域D由以 A（1，3） 、B （5，2） 、C（3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。

若在区域 D内有无穷多个点（x，y）可使目标函数myxz取得最小值，则m= （）A. 2B. 1C. 1 D. 4 第 10 页点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想综合解决问题的能力 5） 求 非 线 性 目 标 函 数 的 最 值例 5.已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件220240330 xyxyxy，则z=x2+y2的 最 大 值 和 最 小 值 分 是A、 13 ， 1 B、 13 ， 2 C、 13 ，45D、13，2 55（ 6） 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围例 6. 已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点（ 0,0 ）和（ 1,1 ） ，则 m的 范 围 是（）A、 （ -3,6）B、 （ 0,6 ）C、 （ 0,3 ）D、 （ -3,3）（7）比值问题当目标函数形如yazxb时 , 可把 z 看作是动点( , )P x y与定点( ,)Q b a连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值例 7 . 已知变量x，y满足约束条件xy20，x1，xy70，则yx的取值范围是（）. （ A）95， 6 （B） （，95 6 ，）（ C） （， 3 6 ，）（D）3 ，6 第 11 页练习：1.已知实数x、y 满足2203xyxyy，则2Zxy的取值范围是 _；2.满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk3的最大值3.已知2zxy，式中变量x，y满足约束条件,1,2,yxxyx，则z的最大值为 _ 4. 设x，y满足约束条件24,1,20,xyxyx，则目标函数z3xy的最大值为 . 5.若变量 x，y 满足240,250,0,0,xyxyxy则 z=3x+2y 的最大值是 _。

6.已知变量230,330.10 xyx yxyy满足约束条件若目标函数zaxy（其中 a0）仅在点（ 3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为7.已知实数xy，满足121yyxxym，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于8. 若点 p（m ，3）到直线4310 xy的距离为4，且点p 在不等式2xy3。