2023-2024学年北师大版七年级数学上册重难点题型突破训练：数轴与动点经典题型（四大题型）（含答案与解析）.pdf

专题0 5数轴与动点经典题型(四大题型)一名丸臣女蚣独_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【题型1 最值问题】【题型2 线段的和倍差问题】【题型3 数轴与行程相遇综合问题】【题型4 数轴上新定义问题】_ _ _ 潘一纪始鬃_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【题型1 最值问题】【典例1】问题提出|1|+|2+a-3|+H+202”的最小值是多少？阅读理解为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手，的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么|a-1|可以看作这个数在数轴上对应的点到1 的距离；H-1|+|-2|就可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1和 2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究-l|+|a-2|的最小值.我们先看表示的点可能的3 种情况，如图所示：(1)如图，在 1 的左边，从图中很明显可以看出a 到 1和 2 的距离之和大于L(2)如图，在 1,2 之间(包括在1,2 上)，可以看出到 1和2 的距离之和等于1.(3)如图，。

在 2 的右边，从图中很明显可以看出到 1和 2 的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在 1,2 之间(包括在1,2 )时，a-l|+|a-2|有最小值1.问题解决(1)请你结合数轴探究：|4|+|7|的最小值是.(2)请你结合图探究|a-l+a-2|+|a-3|的最小值是.(3)a-l|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|o-5|的最小值为.(4)a-l|+|a-2|+|a-3|+|a-2021|的最小值为.拓展应用 已知（|+1|+|2|）X（步-2|+|升 1|）X（|c-3|+|c+l|）=3 6,则+2办+3c的最大值为 15,+25+3c的最小值为.：-2-101234图a i.i -2-101234图-2-101234图 A-2-101234图【变式1-1我们知道，在数轴上，同表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点/、B,分别用a,6 表示，那么2、B两点之间的距离为：AB=a-b.利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示x 和-1 的两点N、5 之间的距离是.（2）代数式|x+l|+|x+3|的最小值是.（3）代数式|x-l|+M+|x+2|+|x-4|的最小值为,此时符合条件的整数x为.（4）代数式k-1|-|x-3|的最小值为,最大值为.【变式1-2】阅读：数轴揭示了数与点之间的内在联系，它 是“数形结合”的基础.我们知道|2|=|2-0|,它在数轴上的意义是表示数2的点与原点(即表示0的点)之间的距离，|5-2|也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5-(-2)|,表示5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.一般地，点幺、点3在数轴上分别表示有理数a、b,那么点/、点5之间的距离可表示为|。

臼.结合数轴与绝对值的知识解决下列问题：(1)数轴上表示2和-3的两点之间的距离是；数轴上表示x和-5的两 点 之 间 的 距 离 是;(2)若|x-1|+|3|=6,则=；(3)求|x-1|-2|的最大值.【变式1-3】阅读下列材料.x(x 0)我们知道！x|=0(x=0),现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的-x(x 0)代数式.例如：化简代数式|x+l|+|x-2|时，可令x+l=O和%-2 =0,分别求得x=-l和x=2(称-1,2分别为|1|与|x-2|的零点值).在有理数范围内，零点值.*=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：xV -1；-1WXV 2；x，2.从而在化简|x+l|+|x-2|时，可分以下三种情况：当 x V-1 时，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+l；当-lxV2 时，原式=(x+1)-(x-2)=3；当 x22 时，原式=(x+1)+(x-2)=2 x-1.-2x+l(x -1).|x+l|+|x-2|=-3(-l x 2)(1)|x-3|的零点值是x=(直接填空)；(2)化简|x-3|+k+4|;(3)直接写出x-1|-4 附 1|的最大值.【变式1-4 如图，在数轴4 3上两点对应的数分别为-4 0、2 0,数轴上一点尸对应的数为X.4 L 2 Q 尸 r400 2 0(1)若点尸在2、5两点之间，则点P到N、台两点的距离的和为.(2)如图，数轴上一点。

在点尸的右侧，且与点P始终保持相距1 8 个单位长度.当x 取何值时，点N与点尸的距离、点3与点的距离的和为4 8?(3)结合对前面问题的思考，若(|x+4|+|x-2|)(l y|+|y-5|)W 3 0,求x-2y的最大值和最小值.【变式1-5】同学们都知道，|5-(-2)|表示5 与-2 之差的绝对值，实际上也可以理解为5与-2 数在数轴上所对的两点之间的距离，即|5-(-2)|=7.试探索：（1）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x 所对的点到-1008和1005所对两点距离相等，则=；（2）类似的,+5|+,-2|表示数轴上有理数x 所对点到-5 和 2 所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7,这样的整数有;（3）由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有,写出最小值，如果没有，说明理由.【变式1-6我们知道，可以理解为-0 ,它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点Z,B,分别用数a,6 表示，那么4 8 两点之间的距离为=-臼，反过来，式 子-臼的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b的点之间的距离.利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数-5 的点和表示数3 的点之间的距离是；（2）数轴上点Z 用数。

表示，若同=5,那么的值为；（3）数轴上点/用数表示，探究以下几个问题：若-3|=5,那么a的值是；满足|a+2|+|a-3|=5 整数有 个；-3|+|a+2022|有最小值，最小值是：；求|a+l|+|a+2|+|a+3+.|a+2021+|a+2022|+|a+2023|的最小值.【变式1-7（2022秋龙华区期中）在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离.如：|5|表示5 在数轴上的对应点到原点的距离.而|5|=|5-0|,即|5-0|也可理解为5、0 在数轴上对应的两点之间的距离.类似的，|5-3|表示5 与 3 之差的绝对值，也可理解为5 与 3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离.如|x -3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离，一般地，点/、5在数轴上分别表示数a、b,那么N、5之间的距离可表示为|a-升请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：(1)数轴上表示2和 3的两点之间的距离是；数轴上表示苴和-5 的两6点 之 间 的 距 离 是;(2)数轴上点尸表示的数是2,尸、两点的距离为3,则点表示的数是;(3)相居|的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示x 的点之间的距离；(4)若 卜 -3|+|z+2|=7,则 7=；(5)数轴上有一个点表示数则|+1|+口-3|+|+8|的最小值为.1111111111111A 8 7 6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 7 8【题型2 线段的和倍差问题】【方法技巧】1、两点之间的距离：大的数减去小的数注：(1)已知两点的距离和较大数，较小数=较大数一距离；(2)已知两点的距离和较小数，较大数=较小数+距离.2、两点的中点公式：土a.23、解题方法：(1)遇动点问题注意动点的起始位置以及方向和速度；(2)当无法比较两数大小的时候，求两者之间的距离时需要添加绝对值；(3)若遇相遇或追击问题，通常抓路程作为列等量关系的依据.【典例2】(2 0 2 2 秋泉港区期末)如图，已知点。

为数轴的原点，点A、B、C、在数轴上，其中/、3两点对应的数分别为-1、3.(1)填空：线段48的长度4 3=；(2)若点N是5c的中点，点在点幺的右侧，且点尸段8 上运动.问：该数轴上是否存在一条线段，当尸点在这条线段上运动时,P A+P B的值随着点P的运动而没有发生变化？(3)若点尸以1 个单位/秒的速度从点向右运动，同时点E从点幺以5 个单位/秒的速度向左运动、点厂从点5以2 0 个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是尸E、O 尸的中点.点尸、E、尸的运动过程中，空空的值是否发生MN变化？请说明理由._ _O【变式2-1 如图，数轴上三点/、B、C表示的数分别为-1 0、5、1 5,点P为数轴上一动点，其对应的数为X.(1)点力到点的距离为；(2)数轴上是否存在点尸，使得点尸到点4、点3的距离之和为2 5个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；(3)设点尸到幺、B、三点的距离之和为S.在动点尸从点/开始沿数轴的正方向运动到达点这一运动过程中，求出S的最大值与最小值.A P B C-1 0 0 5 15【变式2-2 如图，有两条线段，AB=2(单位长度)，8=1 (单位长度)在数轴上，点N在数轴上表示的数是-1 2,点。

在数轴上表示的数是15.(1)点3在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是 一；(2)若线段4 5以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段C Z)以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为，秒，当/为何值时，点B 与点、C之间的距离为1个单位长度？(3)若线段/5、线段C D分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点尸从-1 5出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动.设运动时间为，秒，当0V/V5时，2 4 C-1叨的值是否发3生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由.A B 0 C D【变式2-3】如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点力重合，右端与点5重合.(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到5点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到/点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6(单位：c m,由此可得到木棒长为 cm.(2)图中/点表示的数是，3 点表示的数是.(3)由 题(1)(2)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄,爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？_._ ”1 _ 0 6A B 24【变式2-4】如图，已知数轴上4 5 两点表示的数分别为-1,3,点尸为数轴上一动点，其表示的数为X.A R C j I-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5(1)若点尸为4 5 的中点，则x 的值为；(2)若点尸在原点的右侧，且到点4,5 的距离之和为8,则x 的值为；(3)某 时 刻 点 5 分别以每秒2 个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点尸以每秒6 个单位长度的速度从表示数1 的点向 左 运 动.求 当 点 5 之间的距离为3 个单位长度时，点尸表示的数.【变式2-5】数轴上有N、B、C 三点，如图1,点4、5 表示的数分别为/、G V)，点 C 在点5 的右侧，AC-AB=2.(1)若用=-8,=2,点。

是4 C 的中点.则点表示的数为.如图2,线段瓦=E在尸的左侧，0）,线段 厂从2点出发，以1个单位每秒的速度向5点运动（点产不与5点重合），点”是EC的中点，N是加的中点，在访运动过程中，的长度始终为1,求的值；（2）若-m2,点是NC的中点，若4 t H 3m=4,试求线段48的长.-A D B。