大学物理机械波知识点及试题带答案.pdf

机械波一、基本要求1、掌握描述平面简谐波的各物理量及各量之间的关系2、理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波动方程的方法及波动方程的物理意义理解波形图，了解波的能量、能流、能量密度3、理解惠更斯原理，波的相干条件， 能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件4、了解驻波及其形成条件，了解半波损失5、了解多普勒效应及其产生的原因二、主要内容1、波长、频率与波速的关系/uTu2、平面简谐波的波动方程)(2cosxTtAy或)(cosuxtAy当0时上式变为)(2cosxTtAy或)(cosuxtAy3、波的能量、能量密度，波的吸收（1）平均能量密度：2212A（2）平均能流密度：2212IAuu（3）波的吸收：0 xII e4、惠更斯原理介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前5、波的叠加原理（1）几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变 , 并按照原来的方向继续前进, 好象没有遇到过其他波一样.（独立性）（2）在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.（叠加性）6、波的干涉121220,1,221)0,1,2kkAAAkkAAA，（干涉相长）（，（干涉相消）12120,1,2(21)0,1,22kkAAAkkAAA，（干涉相长），（干涉相消）7、驻波两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成驻波，其表达式为22coscosxYAt8、多普勒效应（1）波源静止，观测者运动00(1)Vu（2）观测者静止，波源运动0suuuV（3）观测者和波源都运动000 xuVuVuV三、习题与解答1、振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？解: (1)振动是指一个孤立的系统( 也可是介质中的一个质元) 在某固定平衡位置附近所做的往复运动， 系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(tfy；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即),(txfy(2) 在谐振动方程)(tfy中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(txfy中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律当谐波方程)(cosuxtAy中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一(3) 振动曲线)(tfy描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线),(txfy描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图2 、 波 动 方 程0cosxyAtu中 的xu表 示 什 么 ？ 如 果 改 写 为0cosxyAtu，xu又 是 什 么 意 思 ？ 如 果t和x 均 增 加 ， 但 相 应 的0 xtu的值不变，由此能从波动方程说明什么？解: 波动方程中的ux/表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；ux则表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为)cos(0uxtAyt则tt时刻的波动方程为)()(cos0uxxttAytt其表示在时刻t，位置x处的振动状态， 经过t后传播到tux处所以在)(uxt中，当t，x均增加时，)(uxt的值不会变化，而这正好说明了经过时间t，波形即向前传播了tux的距离，说明)cos(0uxtAy描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程3、在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同？解: 取驻波方程为vtxAycos2cos2，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为xA2cos2而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反4、已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为yAcos (BtCx)，其中 A，B，C 为正值恒量 .求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差.解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(CxBtAy (0 x) 将上式与波动方程的标准形式)22cos(xtAy比较，可知：波振幅为A，频率2B，波长C2，波速CBu，波动周期BT21(2) 将lx代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(ClBtAy(3) 因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为)(212xx将dxx12，及C2代入上式，即得Cd5、图示为一平面简谐波在t 0 时的波形图，求： （1）该波的波函数； （2）P处质点的振动方程。

解:（1）由图知： A 0.04m，0.40m，（2）P处质点的振动方程为：20.405( )0.08Tsu10.04cos 250.42txym0.2xm214.02.052cos04.0ty30.04cos 0.42tm6、 平面简谐波沿O x 轴正方向传播， 已知振幅msTmA2,2,1波长周期， 在 t=0时, 坐标原点处的质点位于平衡位置沿O y轴正方向运动求：（ 1）波动方程；（2） x=0.5m 处质点的振动方程解:（1）)(2cosxTtAy2cos2()m222txy（2）cos()myt7、一平面简谐波，波长为12m，沿 Ox 负向传播 如图所示为原点处质点的振动曲线，求：（1）原点处质点的运动方程，（2）此波的波动方程解：326tsT122原点处质点的运动方程为波动方程为设)cos( tAy设)(2cosxTtAymty)326cos(4. 0mxtmxty)3266cos(4.032)1212(2cos4.08、一平面简谐波以1100smu的速度在均匀无吸收介质中沿x轴正向传播， 位于坐标原点的质点的振动周期为0.02s，振幅为2mt=0 时，原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。

求： （1）坐标原点O 处质点的振动方程； （2）该波的波函数；（ 3）mx2处质点的振动方程解： （1）)cos( tAyT=0.02s 1002Trad muT22)2100cos(2tym(2)设)(2cosxTtAy)(st)(my4. 02 . 050)2100cos(22)202.0(2cos2xtxtym(3) x=2m )25100cos(2tym9、沿 x 轴正向传播的平面简谐波在t=0 时的波形曲线如图所示，波长1m，波速110um s，振幅 A=0.1m，试写出：（1）O 点的振动方程；（2）平面简谐波的波函数；（3）x =1.5m 处质点的振动方程解:（1）O 点振动方程为：0.1cos(20)3yt(m) （2）波函数：0.1cos20103xyt(m) （3）将 x =1.5 带入得该点振动方程：40.1cos 203yt(m) 10、一列沿x正向传播的简谐波，已知01t和st25.02时的波形如图所示 （假设周期sT25. 0）试求：（1）此波的波动表达式； （ 2）P点的振动表达式解:mA2 .0m6 .0)/(6 .025.015.0smtxu，)( 16.06.0suT20（3 分）（1）波动表达式23102cos2 .0 xty（ 7 分）（2） P 点的振动表式为22cos2.0tyP（ 2 分）11、一横波沿绳子传播时的波动表式为)410cos(05.0 xty（SI 制） 。

（1）求此波的振幅、频率和波长 （2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度3）求 x=0.2m 处的2.0)(my)(mx45.0o2.0P01tst25.02质点的振动方程，以及在t=1s 时的相位解: )(05.0mA)(0. 52,101Hzvsmvu5.00.55 .2（2）)/(57.15 .01005.0smAm)/(3.49510005.02222smAam（3）)8.010cos(05.0ty)8.0(2 .92 .04110或12、沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y0.05cos(10t4 x)，式中 x，y 以 m 计， t 以s 计.求：(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求 x0.2 m 处质点在t1 s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相？这一位相所代表的运动状态在t1.25 s 时刻到达哪一点？解: (1)将题给方程与标准式)22cos(xtAy相比，得振幅05. 0Am，频率51s，波长5. 0m，波速5. 2u1sm(2) 绳上各点的最大振速，最大加速度分别为5 .005. 010maxAv1sm222max505.0)10(Aa2sm(3)2.0 x m 处的振动比原点落后的时间为08.05.22.0uxs故2. 0 xm,1ts时的位相就是原点(0 x) ，在92.008.010ts时的位相，即2.9设这一位相所代表的运动状态在25.1ts 时刻到达x点，则825.0)0. 125.1 (5 .22 .0)(11ttuxxm13、一平面余弦波，沿直径为14 cm 的圆柱形管传播，波的强度为18.0 103 J m2s1，频率为 300 Hz，波速为300 ms1，求：(1)波的平均能量密度和最大能量密度？(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量？解: (1)uwI53106300100 .18uIw3mJ4max102. 12ww3mJ(2) udwdwVW2241417251024.9300300)14.0(41106J14、如图所示， S1和 S2为两相干波源，振幅均为A1，相距4，S1较 S2位相超前2，求：题 14 图(1)S1外侧各点的合振幅和强度；(2)S2外侧各点的合振幅和强度.解：（ 1）在1S外侧，距离1S为1r的点，1S2S传到该P点引起的位相差为)4(2211rr0,0211AIAAA（2）在2S外侧 . 距离2S为1r的点，1S2S传到该点引起的位相差. 0)4(2222rr2121114,2AAIAAAA15、如图所示，设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播，它在B 点的振动方程为y12 103cos 2 t；C 点发出的平面横波沿CP 方向传播， 它在 C 点的振动方程为y22 103cos(2 t)，本题中y 以 m 计， t 以 s 计.设 BP0.4 m，CP0.5 m，波速 u0.2 m s1，求：(1)两波传到P 点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时，P 处合振动的振幅；(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P 处合振动的振幅.题 15 图解: (1) )(2)(12BPCP)(BPCPu0)4. 05. 0(2.02 (2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以321104AAAPm(3) 若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0， 这时合振动轨迹是通过，象限的直线，所以合振幅为33122211083.210222AAAAm16、已知一波动方程为0.05sin(102 )()yxm（1）求波长、频率、波速和周期；（2）说明0 x时方程的意义，并作图表示。

解： （1）将题给的波动方程改写为0.05cos10 (/5)/2()ytxm与0cos(/ )yAtx u比较后可得波速115.7um s，角频率101rad s，故有/25.0Hz，1/0。