高中数学奥林匹克竞赛讲座35“设而不求”的未知数.pdf

1 - 竞赛讲座 35 “设而不求”的未知数所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用例 1 若=求 c 十 y 十 z 的值分析已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比解令=k 则：x=k(a-b)，y=k(b-c)，z=k(c-a). 所以 x+y+z= k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)0说明本例中所设的k，就是“设而不求” 的未知数例 2 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用 40 秒钟就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间? 分析要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/ 秒， 因此可以选择V 作参数解设乙跑完一圈需x 秒，乙跑步的速度是V米/ 秒，根据题意，则一圈的总路程可以用vx 表示，甲的速度可用表示(* 15) +15V= Vx V0 ，(* 15) +15V=x x=24 .答：乙跑完一圈需要24 秒 2 - 说明这里 V是 设而不求 的未知数例 3 有一片牧场，草每天都在匀速生长 ( 草每天增长量相等) 如果放牧24 头牛，则6 天吃完牧草；如果放牧21 头牛，则8 天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16 头牛，几天可以吃完牧草. 解设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16 头牛 z 天吃完牧草，再设牧场原有草量是 a. 根据题意，得- ，得y=12x - ，得 (z-8)y=8x(2z-21). 由、，得z=18。

答：如果放牧16 头牛，则18 天可以吃完牧草说明列含参数的方程解应用题，一般情况下应用题的答案与参数的值无关，我们可以把参数消去，从而得到应用题的答案。