余子式与代数余子式.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑余子式与代数余子式 一、余子式与代数余子式例如a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 , a 11 a 22 a 33 a 23 a 32 a 12 a 23 a 31 a 21 a 33 a 13 a 21 a 32 a 22 a 31 a 11 a 22 a 32 a 23 a 33 a 12 a 21 a 31 a 23 a 33 a 13 a 21 a 31 a 23 a 33 在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .记 A ij 1 i j M ij , 叫做元素 a ij 的代数余子式.a 14 a 24 a 34 a 4423 例如D a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 422 3 a 13 a 23 a 33 a 43M23 a 11 M23 a 12 a 32 a 42 a 14 a 34 a 44 a 31 a 41 A 23 1 M . a 11 D a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 421 2 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 a 21, a 23 a 33 a 43 a 24 a 34 , a 44 M 12 a 31 a 41 A 12 1 M 12 M 12 . a 11 M 44 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 , A 44 1 4 4 M 44 M 44 . a 33 行 列 式 的 每 个 元 素 分 别 对 应 着 一 个 余 子 式 和 一 个 代 数 余 子 式. 引理 一个 n 阶行列式，假设其中第 i 行全体 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积，即 D a ij A ij .a 11 a 12 a 22 0 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 0 a 44 例如 D a 21 0 a 41 a 11 1 3 3 a 12 a 22 a 42 a 14 a 24 . a 44 a 33 a 21 a 41 证 当 a ij 位于第一行第一列时,a 11 D a 21 a n1 0 a 22 an2 0 a2n a nn 即有 D a 11 M 11 . 又从而 A11 1 1 1 M 11 M 11 , D a 11 A11 . 在证一般情形, 此时 a 11 D 0 a n1 a1 j a1n aij a ij 0 a nj a nn 把 D 的第 i 行依次与第 0 i 1 行 , 第 i 2 行 , 第 1 行对调 , a ij 0 aij a i 1, j a nj a i 1 ,n a nn 得 D 1 i 1 a i 1 ,1 a n1 再 把 D的 第 j 列 依 次 与 第 j 1列 , 第 j 2 列 , 第1列 对 调 , 得 a ij aij D 1 i 1 0 0 1 j 1 a i 1, j a nj a i 1, j 1 a i 1 ,n a n , j 1 a nn a ij aij 1 i j 2 0 0 a i 1, j a nj a ij aij a i 1, j 1 a i 1 ,n a n , j 1 0 a nn 0 1 i j a i 1, j a nj a i 1, j 1 a i 1 ,n a n , j 1 a nn aij 元素 a ij 在行列式 a i 1, j a nj 余子式依旧是 a ij 在 0 0 a i 1, j 1 a i 1 , n 中的 a n , j 1 a nn a 11 D 0 a n1 a1 j a1n a ij aij a nj 0 中的余子式 M ij . a nn aij a ij 0 0 a i 1 , n a ij M ij , 于是有 a i 1 , j a nj a i 1, j 1 a n , j 1 a nn 故得 a aij ij 0 0 1 i j ai 1, j D anj a a 1 i j a M . i 1, j 1 i 1,n ij ij an, j 1 ann 二、行列式按行(列)开展法那么定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in i 1,2 , , n a1n 0 0 a in a nn 证a 11 D a i1 0 0 a n1 a 12 0 ai2 0 an2 a 11 a i1 a n1 a 12 0 an2a 11 a 12 0 an2 a1n 0 a nn a1n a 11 0 a n1 a 12 ai2 an2 a1n 0 a nn 0 a n1 a in a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in a nn i 1,2 , , n 例13 D 5 2 1 1 1 0 5 5c 1 2 c 3 11 c4 c3 1 3 1 3 2 4 1 3 1 1 0 5 1 3 1 3 1 1 0 0 0 5 5 ( 1)3 3 1 1 5 1 2 5 1 1 0 1 0 0 11 5 5 6 5 r2 r1 ( 1) 1 3 6 5 2 5 8 0 2 5 40 . 例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1 x1 1 x2 x2 x2n 1 2 1 xn xn 2 Dn x1 x1 2 n i j 1 ( xi x j ). (1 ) n 1 xn n 1 证 用数学归纳法 D2 1 x1 1 x2 x 2 x1 2 i j 1 ( x i x j ), 当 n 2 时( 1)式成立. 假设( 1)对于Dn 1 0 0 0 x2n 2 n 1 阶范德蒙德行列式成立 , 1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) ( x 2 x1 ) x3n 2 1 x 3 x1 x 3 ( x 3 x1 ) ( x 3 x1 ) 1 x n x1 x n ( x n x1 ) n 2 xn ( x n x1 ) 按第 1列开展，并把每列的公 就有 因子 ( x i x 1 ) 提出， 1 ( x 2 x 1 )( x 3 x 1 ) ( x n x 1 ) x2 x2n 2 1 x3 x3n 2 1 xn n 2 xn n-1阶范德蒙德行列式 D n ( x 2 x 1 )( x 3 x 1 ) ( x n x 1 ) n i j 2 ( xi x j ) n i j 1 ( x i x j ). 推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j. 证 把行列式 D det( a ij ) 按第 j 行开展，有a 11 a i1 a1n a in , ajn a j1 A j1 a jn A jn a j1 a n1 a n。