
高等代数北大版1-4.ppt
24页4 4 最大公因式最大公因式 5 5 因式分解因式分解 6 6 重因式重因式 10 10 多元多项式多元多项式 11 11 对称多项式对称多项式 3 3 整除的概念整除的概念 2 2 一元多项式 一元多项式 1 1 数域数域 7 7 多项式函数多项式函数 9 9 有理系数多项式有理系数多项式 8 8 复 实系数多项复 实系数多项 式式 的因式分解的因式分解 第一章第一章 多项式多项式 一 公因式一 公因式 最大公式最大公式 二 最大公因式的存在性与求法二 最大公因式的存在性与求法 三 互素三 互素 四 多个多项式的最大公因式四 多个多项式的最大公因式 1 41 4 最大公因式最大公因式 i 1 公因式 若 满足 且 2 最大公因式 若 满足 ii 若 且 则 则称 为 的最大公因式 则称 为 的公因式 一 公因式 最大公因式 1 41 4 最大公因式最大公因式 的首项系数为1的最大公因式记作 注 是 与零多项式0的最 大公因式 两个零多项式的最大公因式为0 最大公因式不是唯一的 但首项系数为1的最大 公因式是唯一的 若 为 的最大公因式 则 c为非零常数 若 不全为零 则 1 41 4 最大公因式最大公因式 二 最大公因式的存在性与求法 若等式 成立 则 与 有相同的公因式 从而 引理 1 41 4 最大公因式最大公因式 定理2 对 在 中存在 一个最大公因式 且 可表成 的一个组合 即 使 1 41 4 最大公因式最大公因式 若 有一为0 如 则 就是一个最大公因式 且 考虑一般情形 用 除 得 其中 或 若 用 除 得 证 1 41 4 最大公因式最大公因式 若 用 除 得 如此辗转下去 显然 所得余式的次数不断降低 因此 有限次后 必然有余式为0 设 其中 或 即 于是我们有一串等式 1 41 4 最大公因式最大公因式 1 41 4 最大公因式最大公因式 从而有 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代 逐个消去 再并项就得到 1 41 4 最大公因式最大公因式 说明 定理 中用来求最大公因式的方法 通常称为 辗转相除法 定理 中最大公因式 中的 不唯一 对于 使 但是 未必是 的最大公因式 1 41 4 最大公因式最大公因式 如 则 取 有 取 也有 取 也有 成立 事实上 若 则对 1 41 4 最大公因式最大公因式 若 且 则 为 的最公因式 设 为 的任一公因式 则 证 从而 即 为 的最大公因式 1 41 4 最大公因式最大公因式 例1 求 并求 使 1 41 4 最大公因式最大公因式 解 且由 得 1 41 4 最大公因式最大公因式 例2 设 求 并求 使 1 41 4 最大公因式最大公因式 因式 即 就可以 这是因为 和 具有完全相同的 若仅求 为了避免辗转相除时出现 注 分数运算 可用一个数乘以除式或被除式 从一开始 为非零常数 1 41 4 最大公因式最大公因式 则称 为互素的 或互质的 1 定义 三 互素 若 互素 除去零次多项式外无 说明 由定义 其它公因式 1 41 4 最大公因式最大公因式 定理3 互素 使 2 互素的判定与性质 证 显然 设 为 的任一公因式 则 从而 又 故 1 41 4 最大公因式最大公因式 定理4 若 且 则 证 使 于是有 又 1 41 4 最大公因式最大公因式 推论 若 且 又 则 证 使 于是 使 而由定理4有 从而 1 41 4 最大公因式最大公因式 若 满足 定义 i 则称 为 的最大公因式 ii 若 则 四 多个多项式的最大公因式 1 41 4 最大公因式最大公因式 注 注 表示首1最大公因式 使 的最大公因式一定存在 互素 使 1 41 4 最大公因式最大公因式 附 最小公倍式 设 若 i ii 对 的任一公倍式 都有 则称 为 的最小公倍式 注 的首项系数为1的最小公倍式记作 。












