（精品）数学北师大版初一上册应用一元一次方程-水箱变高了.ppt

3 应用一元一次方程 ——水箱变高了 1.通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题. 2.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,认识 方程模型的重要性. 3.理解形积变化中的不变量的分析.(重点) 4.列方程解决形积变化问题.(难点) 一、等体积变形的等量关系 将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱形储 水箱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱形储水箱,高 变成了多少? 【思考】设高变成了x厘米. 1.在上述锻压的过程中，有哪些量发生了变化？哪些量没有发 生变化？ 提示：锻压前的体积为：9·π· ；锻压后的体积为： π· .锻压前后的体积不变.锻压前后的形状发生了变化. 2.可以得到的方程是什么？ 提示：π· =9·π· . 【总结】“水箱变高了”属于等体积问题，其等量关系为： _______的体积=_______的体积. 锻压前锻压后 二、常见的体积、面积公式 V正方体=a3，V长方体=abh. V圆柱=πr2h，V圆锥= S正方形=a2，S长方形=ab，S梯形= S三角形= ,S圆=πr2. (打“√”或“×”) (1)长方形的长是a米，宽比长短25米，则它的周长可表示为 (2a-25)米.( ) (2)6h表示底为6，高为h的三角形的面积.( ) (3)底面半径为r，高为h的圆柱的体积为πr2h.( ) (4)用同一根绳子所围成的正方形与圆形的面积相等.( ) × × √ × 知识点 形积变化问题 【例】如图,一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为 10cm,原容器内水的高度为12cm,把一根半径为2cm的玻璃棒垂 直插入水中后,问容器内的水将升高多少cm? 【思路点拨】玻璃容器中上升部分水的体积=玻璃棒插进水中 的体积. 【自主解答】设容器内的水将升高xcm, 据题意得:π·102×12+π·22(12+x)=π·102(12+x), 解方程得:x=0.5. 所以容器内的水将升高0.5cm. 【总结提升】解决形积变化问题的一般思路 题组：形积变化问题 1.已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大 纸杯的容量比为2∶3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4∶5， 若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多 可装满几个大纸杯( ) A.64个 B.100个 C.144个 D.22个 【解析】选B.设乙桶内果汁最多可装满x个大纸杯， 则甲桶内果汁最多可装满 个大纸杯． 由题意得：120× ，解得：x=100． 所以乙桶内的果汁最多可装满100个大纸杯． 2.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 【解析】选B.设正方形的边长为x cm，则长方形的长宽分别可 以用x表示为(x+8)cm，(x-2)cm，依题意得：2(x+8+x-2)=40， 所以x=7，即正方形的边长为7 cm． 【归纳整合】 知识点知识点要素梳理知识要点 等积变形 体积、面积 相等 等积变形,即物体的外形或形态 发生变化,但变化前后的体积(或 面积)不变 等长变形周长相等 等长变形,即物体(通常是指铁丝 等)围成不同的图形,图形的形状 变化了,但图形的周长没变 3.一只长方体水箱，其底面是边长为5米的正方形，箱内盛 水，水深4米，现把一个棱长为3米的正方体沉入箱底，水的深 度将是( ) A.5.4米 B.7米 C.5.08米 D.6.67米 【解析】选C.设水的深度为x米，根据题意得： 5×5x=5×5×4+3×3×3.解得：x=5.08. 4.某正方形的边长为8 cm，某长方形的宽为4 cm，且与正方形 面积相等，则长方形长为_____cm. 【解析】设长方形的长是x cm，根据题意得：4x=8×8,解得： x=16. 答案：16 5.要锻造直径为16厘米、高为5厘米的圆柱形毛坯，设需截取 底面边长为6厘米的正方形的长方体钢具高为x厘米，可得方程 为____________________. 【解析】因为直径为16厘米、高为5厘米的圆柱形毛坯的体积 为5π×64立方厘米，底面边长为6厘米的正方形的长方体钢具 高为x厘米的体积为36x立方厘米，根据两者的体积相等可列方 程为5π×64=36x． 答案：5π×64=36x 6.一块长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体橡皮泥,要用它 来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱,若圆柱的高是xcm,则可列方 程 . 【解析】由题意得圆柱的体积为:π·1.52·x(cm3), 长方体的体积为:4×3×2(cm3), 根据等量关系列方程得:4×3×2=π·1.52·x. 答案：4×3×2=π·1.52·x 7.把一块棱长是0.5米的正方体钢坯锻压成橫截面面积是0.1平 方米的长方体钢材,锻压成的钢材有多长? 【解析】设锻压成的钢材长x米, 由题意得:0.1x=0.5×0.5×0.5, 解方程得:x=1.25. 答:锻压成的钢材有1.25米长. 8.用两根长为24cm的铁丝分别围成一个长与宽之比为2∶1的长 方形和一个正方形,求长方形和正方形的面积. 【解析】设长方形的长为2xcm,宽为xcm, 则2(x+2x)=24,解得x=4,所以长方形的面积为32cm2.正方形的 边长为6cm,则面积为36cm2. 9.将内径为12厘米的圆柱形杯子装满水后倒入内径为30厘米、 内高为3.2厘米的圆柱形容器里刚好倒满，求杯子的内高. (注：内径是指内圆的直径). 【解析】设杯子的内高为x厘米，得 π· ·x=π· ×3.2,解得:x=20. 故杯子的内高为20厘米. 10.两个长方体的表面积和为200cm2,第一个长方体的表面积是 第二个长方体的表面积的3倍,求这两个长方体的表面积. 【解析】设第二个长方体的表面积为xcm2,则第一个长方体的 表面积为3xcm2,由题意,得x+3x=200, 解得x=50. 因此第一个长方体的表面积为3×50=150(cm2), 第二个长方体的表面积为50cm2. 【想一想错在哪？】用绳子量井深,把绳子三折来量,井外余 4尺; 把绳子四折来量,井外余1尺,则井深和绳长分别为( ) A.8尺,36尺 B.3尺,13尺 C.10尺,34尺 D.11尺,37尺 。