横截式方程在圆锥曲线中的妙用.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑横截式方程在圆锥曲线中的妙用 直线方程横截式在圆锥曲线中的妙用 贵州省玉屏民族(高级)中学 (554000) 敖复文 在给学生讲解直线斜截式方程时，时有学生提问：既然可以用y轴上的截距表示直线方程（即斜截式），那么是否可以用x轴上的截距表示直线方程？当然答案是断定的，不仅可以，而且它在圆锥曲线中还有着分外高明的应用 已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，那么其截距式方程为 xy 1（a 0,b 0） ab 可变形为y b ○1 x b，即斜截式方程式 y kx b a 其中k为斜率，b为y轴上的截距，且不受b 0的限制；当k 0时，方程为y a，表示平行于x轴的直线，缺点是不能表示垂直于x轴的直线 还可变形为x 其中h aa 2 y a，令h ，那么为 x hy a ○ bb 1 ，a为x轴上的截距，且不受a 0的限制；当h 0时，方程为x a，表k 示垂直于x轴的直线，缺点是不能表示平行于x轴的直线 于是，在解题的过程中，可根据直线的位置状况自由地选择方程的形式：若根据题意直线不能垂直于x轴，可选择○1式；若根据题意直线不能平行x轴，可选择○2式。

可见，方程○2与○1弥补了各自的缺陷，二者珠联璧合，形成了互补在直线和圆锥曲线（更加是椭圆和抛物线）的内容中，有好多题型涉及到的直线是可以垂直于x轴而不能平行于x轴的，这时设直线的方程如用斜截式就务必考虑斜率是否存在，即务必分斜率存在和不存在来设方程，增加了问题的难度假设我们用方程○2，那么就制止了烦琐的分类议论 1式主要用直线的纵截距表示，我们称之为斜截式；○2式主要用直线的横截距表示，○ 为识别于○1式，我们不妨称之为“横截式”（受到“截距式”名称的启示）且看横截式 x hy a在圆锥曲线中的妙用 例1 [教材P.119] 过抛物线y 2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2 p 分析：由已知，直线可以垂直于x轴，但不成能平行于x轴，如直线方程设为斜截式，那么需考虑斜率是否存在两种处境分类议论，对比麻烦，故用横截式表示为好 2 2 — 3 —。