2015年上海市高考数学试卷(理科).pdf

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填 空 题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4 分，否则一律得零分.1.（4 分）（2 0 1 5上海）设全集 U=R.若集合 A=1,2,3,4,B=x|2 x 0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1,则P=6.（4 分）（2 0 1 5上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 如，则其母线与轴的夹角的大小为.7.（4 分）（2 0 1 5上海）方程 lo g 2 =lo g2（3 x 7-2）+2 的解为.8.（4 分）（2 0 1 5上海）在报名的3 名男老师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则 不 同 的 选 取 方 式 的 种 数 为 （结果用数值表示）.9.（2 0 1 5上海）已知点P和 Q 的横坐标相同，P的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P和 Q的轨迹分别为双曲线C|和 c2.若 C1 的渐近线方程为y=J&,则 C2的渐近线方程为.1 0.（4 分）（2 0 1 5上海）设 f T（x）为 f （x）=2X 2+,xG0 1 2 的反函数，则 y=f （x）+fT（X）的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 1.（4 分）（2 0 1 5上海）在（l+x+曷 布）1 的展开式中，X 2 项的系数为（结果用数值表示）.1 2.（4 分）（2 0 1 5上海）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量好和也分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 ES E3=（元）.1 3.（4 分）（2 0 1 5上海）已知函数 f （x）=s i n x.若存在 x i，X 2，.X m 满足 04X X 2.xm 且|f（x i）-f（X 2）|+|f（X 2）-f（X 3）|+.+|f （xm-1）-f （xm）|=1 2（m 0,m G N ）,则 m的最小值为.1 4.（201 5 上海）在锐角三角形AB C中，t a n A=1，D为 边 B C上的点，AAB D.A A C D2的面积分别为2 和 4.过 D作 D E A B 于 E,D F A C 于 F,则而而=.二、选 择 题（本大题共有4 题，满 分 15分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.1 5.（5分）（201 5 上海）设 z i，z2e C,则2、Z 2中至少有一个数是虚数 是 z Z 2是虚数的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 _1 6.（5分）（201 5 上海）已知点A的坐标为（4A/3，1）,将 OA绕坐标原点O逆时针旋转工 至 OB,则点B 的纵坐标为（）A.旭.皿.1 1 D.1 32 2 2 21 7.（201 5 上海）记方程：x2+a ix+l=0,方程：x，a 2x+2=0,方程：x2+a 3X+4=0,其中a i，a 2,a 3是正实数.当a】，a 2,a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根 的 是（）A.方程有实根，且有实根 B.方程有实根，且无实根C.方程无实根，且有实根 D.方程无实根，且无实根1 8.（5 分）（201 5 上海）设 Pn（X n，yn）是直线 2x -y=L（n e N*）与圆 x?+y 2=2 在第一象限的交点，则 极 限 Um n_ =（）n8 xn 1A.-1 B.-1 C.1 D.22三、解 答 题（本大题共有5 题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1 9.（1 2 分）（201 5 上海）如图，在长方体 A B C D-A iBiQ D i 中，A A i=l,A B=A D=2,E、F分别是A B、B C的中点，证明A i、C i、F、E四点共面，并求直线C D|与平面A|J F E 所成的角的大小.Dl C120.（1 4分）（201 5 上海）如图，A,B,C三地有直道相通，A B=5 千米，A C=3 千米，BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）.甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB,速度为8 千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1=力时乙到达C地.（1）求 口与 f）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千 米.当 t|4t s l 时，求 f （t）的表达式，并判断 f （t）在由，1 上的最大值是否超过3?说明理由.c2 1.(1 4 分)(2 0 1 5 上海)已知椭圆x 2+2 y 2=l,过原点的两条直线h和 b 分别于椭圆交于A、B和 C、D,记得到的平行四边形A CBD的面积为S.(1)设 A(X,y p,C(X 2,y 2)，用 A、C的坐标表示点C到直线h的距离，并证明S=2|x jy 2-X 2Y 1I；(2)设 h与 I2 的斜率之积为-工，求面积S的值.22 2.(1 6 分)(2 0 1 5 上海)已知数歹U a n 与 E J 满足 a n+i-a n=2 (bn+i-bn),n WN*.(1)若 bn=3 n+5,且 a i=l,求数列 a Q 的通项公式;(2)设 a Q 的第n o 项是最大项，即 a an(n 6N*),求证：数列、的第皿项是最大项；no 设 a i=A 0,bn=/(n C N*),求人的取值范围，使得 a j有最大值M 与最小值m,且里I T(-2,2).2 3.(1 8分)(2 0 1 5 上海)对于定义域为R的函数g (x),若存在正常数T,使得c o s g (x)是以T 为周期的函数，则称g (x)为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知f (x)是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设 f(x)单调递增，f(0)=0,f (T)=4 n.(1)验证g (x)=x+s i n&是以6 H 为周期的余弦周期函数；(2)设 a b,证明对任意 c f (a),f (b),存在 x o a,b,使得 f (x()=c；(3)证明：u o 为方程c o s f (x)=1 在 0,T上得解，的充分条件是u o+T为方程c o s f (x)=1 在区间 T,2 T上的解，并证明对任意x e 0,T ,都有f (x+T)=f (x)+f (T).2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填 空 题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4 分，否则一律得零分.1.（4 分）（2 0 1 5 上海）设全集 U=R.若集合 A=1,2,3,4 ,B=x|2 x 3 ,则 A n C u B=_（1，4）.【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合.【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可.【解答】解：全集 U=R,集合 A=1,2,3,4 ,B=x|2 x 3 或 x 0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则P=2【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论.【解答】解：因为抛物线y2=2px（p 0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,所以正=1,2所以p=2.故答案为：2.【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.6.（4分）（2015上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2N，则其母线与轴的夹角的 大 小 为2 L .3-【考点】旋 转 体（圆柱、圆锥、圆台）.【专题】空间位置关系与距离.【分析】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为1,由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2H,可得l=2 h,进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案.【解答】解：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为I,则圆锥的侧面积为：n r l,过轴的截面面积为：rh,.圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为271,；.l=2h,设母线与轴的夹角为e,则 cos6=li，1 2故 e=2L,3故答案为：2L.3【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值,是解答的关键.7.(4 分)(2015上海)方程 10g2(9X-1-5)=log2(3X-1-2)+2 的解为 2.【考点】对数的运算性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可.【解答】解：10g2(9X 1-5)=log2(3X-1-2)+2,.log2(9X 1-5)=log24x(3X-1-2),-5=4(3X-1-2),化 为(3X)2-12*3x+27=0,因式分解为：(3X-3)(3x-9)=0,，3、=3,3、=9,解得x=l或 2.经过验证：x=l不满足条件，舍去.x=2故答案为：2.【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题.8.(4 分)(2015上海)在报名的3 名男老师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120(结果用数值表示).【考点】排列、组合的实际应用.【专题】计算题；排列组合.【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9 名老师中选取5 人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案.【解答】解：根据题意，报名的有3 名男老师和6 名女教师，共 9 名老师，在 9 名老师中选取5 人，参加义务献血，有 C9=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126-6=120种；故答案为：120.【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法(间接法)，可以避免分类讨论，简化计算.9.(2015上 海)已 知 点 P和 Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2 倍，P 和 Q的轨迹分别为双曲线C,和 C2.若 C i的渐近线方程为y=J jx,则 C2的渐近线方程为尸 1 x-【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设 C i的方程为y?-3x2=入，利用坐标间的关系，求出Q 的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程.【解答】解：设 C)的方程为y?-3x2=入，设 Q(x,y)则 P(x,2 y),代入 y?-3x?=入，可得 4y2-3x?=入，C2的渐近线方程为4y2-3x2=0,即广士故答案为：行 士 耳 x【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.10.(4 分)(2015上海)设 M (x)为 f(x)=2X-2+.|,X0,2的反函数，则 y=f(x)+f-1(x)的 最 大 值 为 4.【考点】反函数.【专题】函数的性质及应用.【分析】由 f(x)=2*二+笋 x0,2上为增函数可得其值域，得到y=(x)在 勺，2 3上为增函数，由函数的单调性求得y=f(x)+fT (x)的最大值.【解答】解：由 f(x)=2*+笋xe0,2上为增函数，得其值域为百，21-可得y=fT (x)在 良，%上为增函数，4因此y=f(x)+f(x)在 昌，身上为增函数，4；.y=f(x)+f 1(x)的最大值为 f(2)+f 1(2)=l+l+2=4.故答案为：4.【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题.II.(4 分)(2015 上海)在(l+x+二)1的展开式中，X2项 的 系 数 为 45(结果用2015x数值表示).【考点】二项式系数的性质.【专题】二项式定理.【分析】先把原。