初中数学中考复习讲义练习： 二次函数与相似问题.pdf

中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练二次函数与相似问题1.（2020年连云港中考第26题）2.（2019年镇江第27题）3.（2018年扬州第28题）|真题再现 4.（2018年镇江第27题）5.（2018年连云港第26题）专题3 二次函数与相似问题J【专项突破】6.（2018年宿迁第27题）【真题再现】1.（2020年连云港中考第26 题）在平面直角坐标系x O y 中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如 图，抛物线：尸 分 2一 步 2 的顶点为交 x 轴于点A、8（点A在点8左侧），交 y轴于点C.抛 物 线 上 与 是“共根抛物线”，其顶点为P.（1）若抛物线乙2经 过 点（2,-12）,求上对应的函数表达式；（2）当 8P-C P 的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点是抛物线心上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若与 A B C相似，求 其“共根抛物线”12的顶点尸的坐标.【分析】(1)由题意设抛物线乙2 的解析式为y=a (x+1)(x-4),利用待定系数法求出即可解决问题.(2)由题意B P=A P,如 图 1 中，当A,C,P 共线时，BP-P C 的值最大，此时点P 为直线AC 与直线x=怖的交点.(3)由题意，顶点第)，N P D。

不可能是直角，第一种情形：当/分9 0时，如 图 3-1 中，当时.如图3-2 中，当OQ PSZABC时.第二种情形：当N D尸=9 0.如 图 3-3中，当P DQSZABC时.当A D P Q s 4A B C 时，分别求解即可解决问题.【解析】(1)当y=0 时，a d-/-2=0,解得=-1或 4,A A (-1,0),B(4,0),C(0,-2),由题意设抛物线乙2的 解 析 式 为(x+1)(x-4),把(2,-12)代入 y=a (x+l)(x -4),-12=-6af解得a=2,抛物线的解析式为y=2(x+1)(x-4)=2/-6 x-8.(2):抛 物 线 L 2与 八 是“共根抛物线”，A (-1,0),B(4,0),?.抛物线Lx,L2的对称轴是直线x=f,点尸在直线x=|,：.B P=A P,如 图 1 中，当A,C,尸共线时，BP-P C 的值最大，此时点P为直线A C与直线x=匏 交 点，直线A C的解析式为y=-2%-2,3(3)由题意，AB=5,C B S C A=V 5,：.AB2=B C1+AC1f：.Z AC B=9 0 ,CB=2CA,._ 1 2 3 1 z 3、2 25 y=y X-y X-2=(x-y)p-,乙 乙 乙 乙 o3 ”二 顶点 D (5，-由题意，N P D。

不可能是直角，第一种情形：当/9 0时，设、r x,-1 X02 73z x-2),贝!J.尸(一3 ，-1 XO2-3xx-2),2 2 2 2 2 c r 1 2 3 c z 25 x 1 2 3 9 c n _ 3 DP=7TA _ 77X _ 2-(-3)=77X _ 77X+Q9 OP X_ 7T,Z Z o Z Z o Z；PD=2QP,；.2x -3=I%2W，解得尤=或(舍弃)，x_|=/+*,解得尤=I或I （舍弃）,第二种情形：当/尸=9 0.PQ 4 c 1如图 3 -3 中，当 PO QS2ABC 时，=一,DQ BC 2过点 Q 作 QM_LPZ)于 M.则Q Q A/S/IPDQ,Q MM DPQ 1._,3 3 9 11 3 9=一，由图 3 -3 可知，M（-,一）,Q（一，一）,DQ 2 2 8 2 8：.M D=S,M Q=4,4 心,DQ PD.由-=-，可得尸）=10,D M DQ.:D（|，-等）当O P QS/XA B C时，过点Q作Q ML P D于M.%：.DM Q M=1,卓,QD PD 由=，可得PD=D M DQ3 3 9 3 21 3 5 5 3 K综上所述:尸点坐标为（1 -）或（1 -豆）或-）或（5,-p2.（2019 年镇江第27 题）如图，二次函数=-d+4 x+5 图象的顶点为。

对称轴是直线I,一次函数=|x+l 的图象与x 轴交于点A,且与直线D A关于I的对称直线交于点B.（1）点的坐标是（2,9）；（2）直线/与直线A8交于点C,N 是线段C 上 一 点（不与点C 重合），点 N 的纵坐标为n.过点N 作直线与线段D A、D B分别交于点P、Q,使得尸 0与A D A B相似.当“=日时，求 DP 的长；若对于每一个确定的n的值，有且只有一个 O PQ 与 D 4 B 相似，请直接写出”的取一 9 21值 范 围 二.5【分析】(1)直接用顶点坐标公式求即可；9 q 13(2)由对称轴可知点C(2,-),A (一)0),点 A关于对称轴对称的点(一，0),借5 2 2助 AD的直线解析式求得3(5,3)；当=9时，N(2,y),可求Z M=攀 DN=竽，CZ)=普当尸A B 时，DP QsDAB,r P=D P=?V 5；当 P与 A B 不平行时，D P=|V 5,；当 P Q/AB,D B=D P 时,D B=3 事,等，所以 N (2,y),则有且只9 71有一个与A D A B相似时，-n V 管；【解析】(1)顶点为2,9)；故答案为(2,9)；(2)对称轴尤=2,9：.C (2,由已知可求A (-|,0),13点A关于x=2 对称点为(一，0),2则A D关于x=2对称的直线为y=-2x+13,：.B(5,3),当 =需时，N(2,.八._ 9 7 5 18 3 6 D A=2-，D N=-g ，C D=-g-当尸Q A 5 时，X D PQ s XDAB,AD ACAD PN,DP DN ，DA DC:.D P=?底当 PQ 与 AB不平行时，。

尸 Q s ADBA,：./D N Q/D C A,.DP DN =,DB DCo：.DP=|V 5；综上所述，）P=V 5；（2）1 PQ/AB,D B=D P,DB=3V5,_DP DN ,DA DC24：.DN=停21：.N （2,y）,9 21有且只有一个与ZMB相似时，-n 5 3、9 21故答案为:n-r-；点睛：本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键.3.（2018年扬州第28题）如 图 1,四边形4BC是矩形，点 A 的坐标为（3,0）,点 C 的坐 标 为（0,6）,点尸从点出发，沿 OA以每秒1 个单位长度的速度向点A 运动，同时点从点A 出发，沿 以 每 秒 2 个单位长度的速度向点8 运动，当点尸与点A 重合时运动停止.设运动时间为t 秒.（1）当 t=2 时，线段P Q 的中点坐标为（*2）；（2）当C8Q与P4Q相似时，求 t 的值；（3）当 t=l 时，抛物线y=/+6x+c经过P,0 两点，与 y 轴交于点M,抛物线的顶点为 K,如 图 2 所示，问该抛物线上是否存在点D,使NM QD=*NM KQ?若存在，求出所有满足条件的。

的坐标；若不存在，说明理由.【分析】（1）先根据时间t=2,和P,Q的运动速度可得动点尸和的路程O P和A Q的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：N B=/B 4 Q=9 0 ,所以当 CB相似时，存在两种情况：PZ Q B PA BC当出时，=,当 B A Q s 2 X CB Q 时，=,分别列方程AQ BC AQ BQ可得t的值；（3）根据1=1 求抛物线的解析式，根 据3,2）,M（0,2）,可得MQ 龙轴，则 K M=KQ,K E M Q,画 出 符 合 条 件 的 点 证 明 KEQS A Q M/或利用三角函数，列比例式可得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D【解析】（1）如 图 1,点A的坐标为（3,0）,：.0A=3,当 t=2 时，0P=t=2,AQ=2 t=4,：.P（2,0）,Q（3,4）,一 2+3 0+4 5.线段尸的中点坐标为：（一，y-）,即2）；,山,5故答案为：（5，2）；（2）如 图 1,当点尸与点A重合时运动停止，且B 4可以构成三角形,：.0t3,2.,=2箸不符合题意，舍去，综上所述，当C2Q与%相似时，t的值是:或9一4 2(3)当 t=l 时，P(1,0),Q(3,2),把 尸(1,0),Q(3,2)代入抛物线y=x2+bx+c中得：解得：=19+3b+c=2 1c=2 抛物线：y=x1-3x+2=(x1)2p3 i 顶点女,1)，2 49：Q(3,2),M(0,2),MQ 兀轴，作抛物线对称轴，交MQ于E,设。

交 y 轴 于 ，:KM=KQ,KELMQ,1 ZMKE=ZQKE=专/MKQ,1如图 2,ZMQD=ZMKQ=ZQKEfMH FCtan Z MQD=tan Z QKE=音,3-MH 7即-=-r,MH=2,3 2+-4:.H(0,4),_7易得H Q的解析式为：y=w九+4,贝 竹.”4,y=/3%+2923r-3x+2=一三+4,解得：XI=3（舍），X2=2 40.,.D（，）；3 9同理，在M的下方，y轴上存在点“，如图3,使NHQM=*N M K Q=/Q K E,由对称性得：H（0,0）,易得的解析式：y=|x,2贝 小,=,j =%2 3%4-2x2-3x+2=%,解得：Xl=3（舍），X2=|,2 4（一，一）；3 9_2 40,2 4综上所述，点的坐标为：D（一q,）或（不9 3 9点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注 意 用/表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题.4.（2018年镇江第27题）如图，二次函数y=7-3 x 的图象经过。

0,0）,A（4,4）,B（3,0）三点，以点为位似中心，在 y 轴的右侧将0A 8按相似比2：1 放大，得至U 0 4 B,二次函数y=ax2+bx+c QW 0）的图象经过O,A,B 三点.（1）画出0 4 B,试求二次函数=2+笈+QW 0）的表达式；（2）点PC.m,）在二次函数y=/-3x的图象上,MJWO,直 线0 P与二次函数yajc+bx+c（aWO）的图象交于点Q（异于点的 坐 标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）连接A P,若 2Ap求机的取值范围；当 点在第一象限内，过点平行于无轴，与 二 次 函 数 尤+c（aWO）的图象交于另一点Q,与二次函数y=7-3 尤的图象交于点M,N（在 N 的左侧），直 线 与 二 次 函 数 y=7-3 x 的图象交于点P.Q P N,则线段NQ的 长 度 等 于 6.VAl=I L5L_I:=【分析】（1）由位似求出A、Bf坐标，代入解析式即可；（2）用相表示尸的坐标及尸解析式，用机表示尸与抛物线交点的坐标，表示用机表示AP、0 Q,代入2Ap 0求出机范围；用加表示Q 0 解析式，得到P 坐标，求出M、N 坐标，应用P MSAQB，N 构造方程求m.【解析】（1）由以点。

为位似中心，在 y 轴的右侧将O4B按相似比2：1放大，得 警 =OBr-=20BVA(4,4),B(3,0).A,(8,8),B(6,0)将0,0),A(8,8),B(6,0)代入y=a?+bx+c(c=0得 3 6a+63=0、64a+8b=0解 得;二 3(c=0二次函数的解析式为y=#-3x；(2)：点 P 在 y=/-3尤的图象上，:n=n-3 m,:P(m,m2-3m),设直线O P的解析式为将点P代入，得m k=m2-3 m,解得k=m -3,O P：y=(m-3)x直线OP与 y=p-3.r交于点Q1A-x2-3x=(m-3)x,解得 xi=O(舍)，X2=2m,2Q(2m,2m2-6m);尸(m,。