2017届高三数学一轮复习第十三篇几何证明选讲第1节相似三角形的判定及有关性质基础对点练理.doc

1 第十三篇 几何证明选讲(选修4 1) 第1节 相似三角形的判定及有关性质 【选题明细表】 知识点、方法 题号 平行线截割定理及应用 4 相似三角形的判定与性质 1,3 直角三角形的射影定理 2 1.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD. (1)求证:△ABF∽△CEB; (2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积. (1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以∠A=∠C,AB∥CD. 所以∠ABF=∠CEB. 所以△ABF∽△CEB. (2)解:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AD∥BC,AB∥CD. 所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 因为DE=CD, 所以 = =, 𝑆 △ 𝐷𝐸𝐹 𝑆 △ 𝐶𝐸𝐵 ( 𝐷𝐸 𝐸𝐶 ) 2 = =. 𝑆 △ 𝐷𝐸𝐹 𝑆 △ 𝐴𝐵𝐹 ( 𝐷𝐸 𝐴𝐵 ) 2 因为S △DEF =2, 所以S △CEB =18,S △ABF =8. 所以S 四边形BCDF =S △CEB -S △DEF =16. 所以S 平行四边形ABCD =S 四边形BCDF +S △ABF =16+8=24. 2.已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥AB,垂足为E. 求证:(1)AB·AC=AD·BC; (2)AD 3 =BC·BE·CF. 证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC, 所以∠BAC=∠ADB, 又因为∠B=∠B,2 所以△ABD∽△CBA, 所以 = , 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐶 即AB·AC=AD·BC. (2)由题AD 2 =BD·DC, 所以AD 4 =BD 2 ·DC 2 =BE·BA·CF·CA =BE·CF·AD·BC, 所以AD 3 =BC·BE·CF. 3.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,且 ∠BFE=∠C. (1)求证:△ABF∽△EAD; (2)若∠BAE=30°,AD=3,求BF的长. (1)证明:因为AB∥CD, 所以∠BAF=∠AED. 又因为∠BFE=∠C, ∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA, 所以∠BFA=∠ADE. 所以△ABF∽△EAD. (2)解:因为∠BAE=30°, 所以∠AEB=60°, 所以 =sin 60°= , 𝐴𝐵 𝐴𝐸 3 2 又 = , 𝐵𝐹 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐸 所以BF= ·AD= . 𝐴𝐵 𝐴𝐸 3 3 2 4.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD. (1)求证:OE=OF; (2)求: + 的值; 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝑂𝐸 𝐵𝐶 (3)求证: + = . 1 𝐴𝐷 1 𝐵𝐶 2 𝐸𝐹 (1)证明:因为EF∥AD,AD∥BC, 所以EF∥AD∥BC. 因为EF∥BC,3 所以 = , = . 𝑂𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝑂𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐹 𝐷𝐶 因为EF∥AD∥BC, 所以 = . 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐹 𝐷𝐶 所以 = , 𝑂𝐸 𝐵𝐶 𝑂𝐹 𝐵𝐶 所以OE=OF. (2)解:因为OE∥AD,所以 = . 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐵 由(1)知 = , 𝑂𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐵 所以 + = + = =1. 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝑂𝐸 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐸 + 𝐴𝐸 𝐴𝐵 (3)证明:由(2)知 + =1, 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝑂𝐸 𝐵𝐶 所以 + =2.又EF=2OE,所以 + =2, 2 𝑂𝐸 𝐴𝐷 2 𝑂𝐸 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐸𝐹 𝐵𝐶 所以 + = . 1 𝐴𝐷 1 𝐵𝐶 2 𝐸𝐹。