湖北省天门市石河中学中考数学专题课件《等积变换》人教新课标版.ppt

等 积 变 换等积变换的基本原理：等底等高等底等高的两个三角形面积相等不等底但等高不等底但等高的两个三角形面积的比等于底边的比等底但不等高等底但不等高的两个三角形面积的比等于高的比等积变换的基本图形等积变换的基本图形一一. .用等积变换作图用等积变换作图•根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答例1.用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形 •例例2.如如图△ ABC，，过A点的中点的中线能把三角形分成面能把三角形分成面积相同的相同的两部分你能两部分你能过AB边上一点上一点E作一条直作一条直线EF，使它也将，使它也将这个三角形分成两个面个三角形分成两个面积相等的部分相等的部分吗？？过梯形中位线中点且与上下底相交的任意直线（西城（西城08一模）如一模）如图，梯形，梯形纸片片ABCD中，中，AD∥ ∥BC且且ABDC.设AD=a,BC=b.过AD中点和中点和BC的中点的直的中点的直线可将梯形可将梯形纸片片ABCD面面积分成面分成面积相等的两部分相等的两部分.请你再你再设计一种方法一种方法: 只只须用剪子剪一次将梯形用剪子剪一次将梯形纸片片ABCD分割成面分割成面积相等的二部相等的二部分，画出分，画出设计的的图形并形并简要要说明你的分割方法明你的分割方法. 例例3.有一有一块形状如形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你你设计一种方案把它分成所需要的份数．如果只允一种方案把它分成所需要的份数．如果只允许引一条直引一条直线，，你能你能办到到吗？？　　　例4有一块形状如图的耕地，兄弟四人要把它分成四等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数．二二. .用等积变换比大小用等积变换比大小•比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。

•例1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点求△AEF是平行四边形的几分之几？所有空白部分占整个平行四所有空白部分占整个平行四边形面积的分数求出来了边形面积的分数求出来了, ,于是阴影部分于是阴影部分△AEF△AEF的面积的面积所占的分数便是所占的分数便是　例例2.如图任意如图任意ABCD.求四边形求四边形EFGH与与ABCD面积之比面积之比.•连结E、D和B、D，￿用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目转化为熟悉、简单的题目 三三. .用等积变换求面积用等积变换求面积例1如图这是个直角梯形求阴影部分的面积 这道题可以直接解答，也可以把两这道题可以直接解答，也可以把两个阴影部分集中，连结个阴影部分集中，连结ACAC，因为，因为ABAB平行于平行于DCDC，所以，所以△DAE△DAE的面积的面积=△CAE=△CAE的面积，两个阴影部分的面积就换的面积，两个阴影部分的面积就换成一个成一个△ CAB△ CAB的面积了的面积了例例2如图，已知，正方形如图，已知，正方形ABCD的边长是的边长是A，正，正方形方形CEFG 的边长为的边长为B，且点，且点B、、C、、E在一条在一条直线上直线上.连结连结AG、、GE、、AE，求，求•例例3.如图，在四边形ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点。

如果四边形ABCD的面积是20，那么BNDM的面积是多少？MDNCBA两个白色的四边形两个白色的四边形ANCQANCQ、、BPDMBPDM的面积的面积相等，故有相等，故有y=xy=x例5四边形ABCD,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90度,求ABCD的面积． 如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△BD.连接C． 如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程． 因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如图． 图中有∠ECA=110度,所以∠CED=110度.易证∠CDA=40度.四四. . 用等积变换证题用等积变换证题•如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG是AB边上的高证明：CG=DE＋DF已知：如图，以矩形已知：如图，以矩形ABCD的顶点的顶点A为顶点，以为顶点，以AD为角平分线作两射线，分别与为角平分线作两射线，分别与BC与与CD的延的延长线交于点长线交于点E和和F，连结，连结EF求证：求证：.又如四中这次提招中有这么一道题, △ABC,D为BC中点过点D向AB,AC作垂线.BE=2,CF=1,EF//BC.求EF•连A,D.由等积关系易知DF=2DE•设DE=x,则DF=2x•由勾股定理易得•X=1•从而得到EF的•平方为5,算出EF.已知矩形已知矩形ABCD和点和点P，当点，当点P在图在图1中的位置时，则有中的位置时，则有结论：结论： 。

理由：过点理由：过点P作作EF垂直垂直BC，分别交，分别交AD、、BC于于E、、F当点当点P分别在图分别在图2、图、图3中的位置时，上面三个中的位置时，上面三个三角形的面积又有怎样的数量关系？请写出三角形的面积又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．情况的猜想给予证明．（（丽水水08））.如如图，在平面直角坐，在平面直角坐标系中，已知点系中，已知点A坐坐标为（（2，，4），直），直线X=2与与X轴相交于点相交于点B，，连结OA，抛物，抛物线Y=X2从点从点O沿沿OA方向平移，与直方向平移，与直线X=2交于交于P点，点，顶点点M到点到点A时停止移停止移动￿￿￿￿￿￿￿￿（（1）求）求线段段OA所在直所在直线的函数解析式；的函数解析式；•（（2））设抛物抛物线顶点点M的横坐的横坐标为m,• ①①用用m的代数式表示点的代数式表示点P的坐的坐标；；•￿￿￿￿￿￿②②当当m为何何值时，，线段段PB最短；最短；•（（3）当）当线段段PB最短最短时，相，相应的抛物的抛物线•上是否存在点上是否存在点Q，使，使△ △ PMA 的面的面积与与•△ △QMA的面的面积相等，若存在，相等，若存在，请求出求出•点点Q的坐的坐标；若不存在，；若不存在，请说明理由．明理由．五五. .用等积变换来分割拼图用等积变换来分割拼图•直角三角形通过怎样的剪切可以拼成一个与之面积相等的矩形￿？任意的三角形呢？•对任意四边形，你能设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形吗？用等积变换来分割拼图用等积变换来分割拼图①②③④⑤⑥①②③④⑤⑥用等积变换来分割拼图用等积变换来分割拼图•分割图形的应用很多。

如下图，大家应该非常熟悉了，在分割图形的应用很多如下图，大家应该非常熟悉了，在此不在赘述此不在赘述。