河南省洛阳45中九年级数学下册 锐角三角函数课件 （新版）新人教版.ppt

锐角三角函数复习锐角三角函数复习 课题学习目标学习目标知识回顾知识回顾典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈学习目标1. 1. 巩固三角函数的概念巩固三角函数的概念, ,巩固用直角三角形边之巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数比来表示某个锐角的三角函数. .2. 2. 熟记熟记3030°°，，4545°°, 60, 60°°角的三角函数值角的三角函数值. .会计会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. .3.3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形角三角形. .4.4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题问题. . 知识回顾1一一. .锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念正弦：正弦：把锐角把锐角A A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做∠∠A A的正弦，记作的正弦，记作 余弦：余弦：把锐角把锐角A A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做∠∠A A的的余弦，记作余弦，记作 正切：正切：把锐角把锐角A A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做∠∠A A的的正切，记作正切，记作 对边对边a a邻边邻边b b斜边斜边c c锐角锐角A A的正弦、余弦、正切都叫做的正弦、余弦、正切都叫做∠A∠A的锐角三角函数的锐角三角函数. .对这些关系式对这些关系式要学会灵活变要学会灵活变式运用式运用同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系是：正弦值等于它的余角的余弦值，余是：正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值弦值等于它的余角的正弦值. .即即sinAsinA＝＝coscos（（9090°°一一 A A）＝）＝cosB cosB cosAcosA＝＝sinsin（（9090°°一一A A）＝）＝sinBsinB思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之间有何关系？间有何关系？知识回顾2二二. .特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 锐角的锐角的三角函数值三角函数值有何变化规律呢？有何变化规律呢？知识回顾3三三. .解直角三角形解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形有未知元素的过程，叫做解直角三角形. .1.1.什么叫解直角三角形？什么叫解直角三角形？2.2.直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：∠∠A A十十∠∠B B＝＝9090°° 归纳：归纳：只要知道其中的只要知道其中的2 2个元素（至少有一个是边），个元素（至少有一个是边），就可以求出其余就可以求出其余3 3个未知个未知元素元素. . （（1 1）三边关系：）三边关系：（勾股定理）（勾股定理）（（2 2）两锐角的关系：）两锐角的关系：（（3 3）边角的关系：）边角的关系：四四. .解直角三角形的应用解直角三角形的应用1.仰角和俯角仰角和俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角. .铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角知识回顾42.2.方向角方向角指南或北的方向线与目标方向线构成小于指南或北的方向线与目标方向线构成小于9090°°的角的角, ,叫做方向角叫做方向角. .如图：点如图：点A A在在O O的北偏东的北偏东3030°°点点B B在点在点O O的南偏西的南偏西4545°°（西南方向）（西南方向）30°45°BOA东东西西北北南南坡度（坡比）：坡度（坡比）：坡面的铅坡面的铅直高度直高度h h和水平距离和水平距离l l的的比叫做坡度，用字母比叫做坡度，用字母i i表表示，则示，则3.3.坡度、坡角坡度、坡角坡角：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母αα表示表示. .hl坡度通常写成坡度通常写成 的形式的形式. .例例1.1.计算计算2sin30 2sin30 °°+tan45 +tan45 °° ××cos60cos60°°步骤：步骤：一一““代代””二二““算算””例例2.2.若若 ，则锐角，则锐角α=α= 3030°°点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先将原式变形为将原式变形为tanα= tanα= ，从而求得，从而求得αα的度数的度数. .例例3.3.在在Rt Rt △△ ABC ABC中，中，∠∠C=90C=90°°，，∠∠ A=30 A=30°°，，a=5a=5，，求求b b、、c c的大小的大小. .解解: :∵ ∵ sinA=a/c,sinA=a/c,∴ c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10.∴ c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10.ABC530°∠∠B=90B=90°°- - ∠∠ A=90 A=90°°-30-30°°=60=60°°，，∵tanB=b/a,∵tanB=b/a,∴b=a∴b=a·tanB=5tanB=5·tan60tan60°°= =解直角三角形分为两类解直角三角形分为两类: :一是已知一边一角解直角三一是已知一边一角解直角三角形角形; ;二是已知两边解直角三角形二是已知两边解直角三角形. .典型例题2例例4.4.如图，在如图，在△△ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，若若tanB=cos∠DAC.tanB=cos∠DAC.（１）（１）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由；DCBA故　故　BD=ACBD=AC解：（１）解：（１）　在　在Rt Rt △ABD△ABD和和△△ACDACD中，中，tanB=tanB=　　，　　　　＝　　　，　　　　＝　因为因为tanB=cos∠DACtanB=cos∠DAC，所以　　＝，所以　　＝cos∠DACcos∠DAC（２）若（２）若sinCsinC＝　　，＝　　，BC=12BC=12，求，求ADAD的长的长. .例例4.4.如图，在如图，在△△ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，若若tanB=cos∠DAC.tanB=cos∠DAC.（１）（１）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由；DCBA（２）若（２）若sinCsinC＝　　，＝　　，BC=12BC=12，求，求ADAD的长的长. .（２）（２）设设AC=13k,AD=12kAC=13k,AD=12k，所以，所以CD=5k,CD=5k,又又AC=BD=13kAC=BD=13k，，在在Rt Rt △ACD△ACD中，因为中，因为sinCsinC＝＝所以所以BC=18k=12,BC=18k=12,故故k=k=所以所以AD=12AD=12×　＝８　＝８及时反馈11.1.若若 ，则锐角，则锐角α=α=2.2.若若 ，则锐角，则锐角α=α=3.3.计算：计算：4545°°8080°°4.4.如图，在如图，在Rt△ABCRt△ABC中，中，∠∠C=90C=90，，b= ,c=4.b= ,c=4.则则a=a= ，，∠∠B=B= ，，∠∠A=A= . .ABC2 26060°°3030°°D D5.5.如果如果那么那么△△ABCABC是（是（ ）） A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.等边三角形等边三角形典型例题3例例5.5.海中有一个小岛海中有一个小岛P P，它的周围，它的周围1818海里内有暗礁，海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A A测得小岛测得小岛P P在北在北偏东偏东6060°°方向上，航行方向上，航行1212海里到达海里到达B B点，这时测得小点，这时测得小岛岛P P在北偏东在北偏东4545°°方向上．如果渔船不改变航线继续方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．D D分析：作分析：作PD⊥BCPD⊥BC，设，设PD=x,PD=x,则则BD=x,AD=x+12,BD=x,AD=x+12,根据根据AD= AD= PD,PD,得得x+12= x,x+12= x,求出求出x x的值的值, ,再比较再比较PDPD与与1818的大小关系的大小关系. .解：有触礁危险解：有触礁危险. .理由：过点理由：过点P P作作PD⊥ACPD⊥AC于于D.D.设设PDPD为为x x，在，在Rt△PBDRt△PBD中，中，∠∠PBD=90PBD=90°°－－4545°°＝＝4545°°．．∴∴BDBD＝＝PDPD＝＝x,AD=12+x.x,AD=12+x.在在Rt△PADRt△PAD中，中，∵∠∵∠PADPAD＝＝9090°°－－6060°°＝＝3030°°，，∴∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险． D D例例6.6.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．平地，如图所示．BC∥ADBC∥AD，斜坡，斜坡AB=40AB=40米，坡角米，坡角∠∠BAD=60BAD=60°°，为，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过改造．经地质人员勘测，当坡角不超过4545°°时，可确保山体不时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚滑坡，改造时保持坡脚A A不动，从坡顶不动，从坡顶B B沿沿BCBC削进到削进到E E处，问处，问BEBE至至少是多少米（结果保留根号）？少是多少米（结果保留根号）？G GF F分析分析: :就是当就是当∠∠EAD=45EAD=45°°时时, ,求求BEBE的长的长, ,作作BF⊥AD,EG⊥AD,BF⊥AD,EG⊥AD,则则BE=GF=AG-AF.BE=GF=AG-AF.过点过点B B作作BF⊥ADBF⊥AD，在，在Rt△ABFRt△ABF中，中，AB=40,∠BAD=60AB=40,∠BAD=60°°，， 过点过点E E作作EG⊥ADEG⊥AD，在，在Rt△ABFRt△ABF中，中，GE=BF GE=BF 当当∠∠EAD=45EAD=45°°时，时， 点评：题目中没有直角三角形时，我们可以作辅助线点评：题目中没有直角三角形时，我们可以作辅助线构造直角三角形，作辅助线时要考虑如何充分和便利构造直角三角形，作辅助线时要考虑如何充分和便利的使用已知条件。

的使用已知条件G GF F解解: :6.6.直角三角形纸片的两直角边分别直角三角形纸片的两直角边分别BCBC为为6 6，，ACAC为为8,8,现将现将△△ABCABC，按如图折叠，使点，按如图折叠，使点A A与点与点B B重合，折痕为重合，折痕为DEDE，则，则tan∠CBEtan∠CBE的值的值是是 . .ABC68ED方法点拨方法点拨: :设设CE=x,CE=x,则则AE=BE=8-AE=BE=8-x,x,利用勾股定理求出利用勾股定理求出x,x,再求再求tan∠CBEtan∠CBE的值的值. .及时反馈27.7.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m1.7m，看旗杆顶部的仰角，看旗杆顶部的仰角为为4545°°；小红的眼睛与地面的距离（；小红的眼睛与地面的距离（CDCD）是）是1.5m1.5m，看旗杆，看旗杆顶部的仰角为顶部的仰角为3030°°．两人相距．两人相距2828米且位于旗杆两侧（点米且位于旗杆两侧（点B B，，N N，，D D在同一条直线上）．请求出旗杆在同一条直线上）．请求出旗杆MNMN的高度．（结果保的高度．（结果保留整数）留整数） MN=12MN=12米米典型例题58.8.如图，甲船在港口如图，甲船在港口P P的北偏西的北偏西6060°°方向，距港口方向，距港口8080海里的海里的A A处，沿处，沿APAP方向以方向以1212海里海里/ /时的速度驶向港口时的速度驶向港口P P．乙船从港口．乙船从港口P P出发，沿北偏东出发，沿北偏东4545°°方向匀速驶离港口方向匀速驶离港口P P，现两船同时出发，，现两船同时出发，2 2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度． 锐锐角角三三角角函函数数1.1.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义⑴⑴正弦正弦⑵⑵余弦余弦⑶⑶正切正切2.302.30°°、、4545°°、、6060°°特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值3.3.解直角三角形解直角三角形 ⑴⑴定义定义⑵⑵解解直角三角形的依据直角三角形的依据①①三边间关系三边间关系②②锐角间关系锐角间关系③③边角间关系边角间关系⑶⑶解直角三角形在实际问题中解直角三角形在实际问题中 的应用的应用。