A1(2)数列的极限讲义教材.ppt

1,2. 数列的极限,微积分学的研究对象是函数，而研究函数的工具是极限理论，这是高等数学区别于中等数学的显著标志，因此极限理论构成微积分学的基础它是从有限到无限，从近似到精确的桥梁一尺之棰，日取其半，万世不竭”, 庄子,2,2. 数列的极限,我国魏晋时期的数学家刘徽用圆内接正,多边形来推算圆面积，即为割圆术圆内接正三角形面积 A1,,,圆内接正六边形面积 A2,圆内接正十二边形面积 A3,,,圆内接正 n 边形面积 An,发现圆面积正是A1，A2，，An, ,当 n 无限变大时的 趋近值3,1. 数列的定义,按照某一法则，依次排列着的无穷多个数：,称为无穷数列，简称数列，,,记作 xn ,,其中每一个数称为数列的项，,xn 称为一般项或通项一、 数列的概念,5,例：,,1，2，3，，n , ,xn = n .,,1! , 2! , 3! , , n! , ,,,,xn = n!,xn =,xn = (-1)n+1,xn =,7. 9.,6,数列在几何上表示数轴上的点列0,.1,.2,.3,.4,.,.,.,.n,.,.,. -1,思考：,可否看作函数？,答：,可看作自变量取正整数的函数：,xn = f (n), D: n = 1, 2, ,,称为整变量函数。

1,.1,. -1,7,2. 数列的性质,10，单调性,对数列 xn , 若都有,则称为单调增加数列；,则称为单调减少数列统称单调数列例1，2，5 单调增加,例3 单调减少,例4 不单调,5,8,从几何上看，单调数列在数轴上的点,向同一个方向移动单调增加向右,单调减少向左,说明：,数列的单调性有时是从某一项才开始的;,(1),xn = n2 - 7n :,-6, -10, -12, -12, -10, -6, 0, 8, 18, ,(2),不单调且交替增减的数列，称为,摆动数列，如 :,xn = (-1) n+19,20，有界性,对数列 xn , 若存在 M 0，使对一切 xn,满足,则称数列 xn 有界；,若这样的 M 不存在，,则称数列 xn 无界例 3，4，5 有界,例 1，2 无界,5,10,二、数列的极限,考察数列,,.1,.0,.,. -1,.,.,.,.,.,.,.,当 n 无限增大时，xn 与 0 (原点)的距离,无限变小，,要多小就能多小！,.1,11,要求,只要 n 1000 ;,只要 n 1000000.,,(任意小的正数),只要 n N (某一项),,数 0 称为数列,12,,一般，设 xn 为数列，a 为常数，,1. 定义（数列极限的分析定义）,若对于任给 0 , 总存在,(正整数),,当 n N 时，都有,则称 a 为数列 xn 的极限，,或称 xn 收敛,于 a ， xn 称为收敛数列，记作,若 xn 没有极限，,则称 xn 为发散数列。

简述：,当 n N 时，都有,或,13,(1) 是什么数？, 是任意小的正数，它有二重性：,10. 任意性,当极限存在时， 可任意选取，,才能真正体现 xn 无限接近 a 的思想20. 相对固定性,一旦选定 ， 就是相对固定的数，然后,才能对此 寻找 N .,14,(2) N 是什么数？,N 是正整数，是项数，N()随 的给定,而确定一般： 越小，N 越大；,N 不唯一！ 不一定取最小的 N 指当 n = N+1, N+2, 时，有无穷多个,不等式成立：,15,2. 数列极限的几何意义,即当 n N 时 数列 xn 中的点都落在,而只有有限个点（至多只有 N 个）落在此,区间之外 x1,. a,( a-,) a+,. x2,. x3,. x4,. x5,. xN,. xN+1,数列极限存在与否，与它前面的有限项无关16,,,,当 x = n, 则,相应的点都落 在绿色区域内,n,f(n),,A,,,,,,N,1,2,3,N+1,N+2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,数列的极限,,,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,,17,当 x = n, 则,,A,,,,,,N,1,2,3,N+1,N+2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,数列的极限,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,,18,当 x = n, 则,A,,,N,1,2,3,N+1,N+2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,数列的极限,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,,19,当 x = n, 则,A,,1,2,3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,N+1,N+2,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,数列的极限,,20,当 x = n, 则,A,1,2,3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,N+1,N+2,,,,,因此，数列的极限定义也称数列极限的 N定义,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,数列的极限,,21,关键：,对给定的 0, 找 N ，,例1：,用定义验证,证：,则当 n N 时，,得证。

22,例2.,证：,( < 0 ? ),,则当 n N 时，,,23,例3.,证明等比数列,同理，对等比数列,证：,当 n N 时，,24,( M 0 为常数),错误定义：,25,三、收敛数列的性质,1. 唯一性,定理1.,若数列 xn 收敛，则其极限值唯一证：,用反证法，,设收敛数列 xn 有两个极限值 a 与 b ,,且 a b，不妨设 a b ,, xn 收敛, 取某个,则存在N1，,当 n N1 时，有,且存在N2，,当 n N2 时，有,26,矛盾，, a = b,得证若数列 xn 的极限不唯一，则 xn 发散如： xn = (-1) n+1,发散,27,2.有界性,定理2.,若数列 xn 收敛，,则数列 xn 有界证：,数列 xn 收敛，,由定义，,对某个给定的正数 0 ，必存在 N ，,则对一切 xn , 都有, xn 有界28,说明：,(1),逆定理不成立，即,有界数列不一定收敛如：,xn = (-1)n+1,发散，但,有界数列有界是数列收敛的必要条件，而非,充分条件2),逆否定理成立，即,无界数列一定发散！,29,,3. 保号性,定理3.,则存在正整数 N ，当 n N 时，恒有,xn 0 .,( a < 0 ),( xn < 0 ),证：, xn a 0,,必存在 0 ,使,,. 0,. a,( a-,) a+,30,推论：,如：,31,4. 与子列的关系,奇数列,偶数列,从数列中保持原来顺序从左向右任选的无穷多个项组成的新数列称为原来数列的子数列，记作,n 原数列中的位置，k 新数列中的位置,32,,定理4.,且它们的极限都等于 a :,在 xn 的子列中，只要有一个发散，或,有两个子列的极限不相等，则 xn 发散。

如：,1，1，1， 1,-1，-1，-1， -1, xn 发散,33,例：,对数列 xn ，,证明：,例：,34,例：,对数列 xn ，,证明：,证：,取 N = max K1, K2 ,,则当 n N 时，,上述不等式同时成立，,得证35,课外作业,习题集 1-2(A),1(3, 5), 3, 4(2, 3), 5, 6,习题集 1-2(B),1(2, 3), 2,。