专题13 最值模型：瓜豆原理-主从动点问题（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）（解析版）.docx

专题13 最值模型；瓜豆原理-主从动点问题（知识解读）【专题说明】 初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题．【方法技巧】瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．）满足条件：1.两动一定；2.动点与定点的连线夹角是定角；3.动点到定点的距离比值是定值．方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值．“瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似．涉及的知识和方法：知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值．模型一：运动轨迹为圆弧引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．模型二：运动轨迹为线段引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）【典例分析】【典例1】如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】D【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴PC＝CE，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2+＝，故选：D．【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）A． B． C． D．3【答案】A【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，，∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝5，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°＝×＝，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故选：A．【变式1-2】如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（　　）A．2 B．1+ C．2 D．【答案】B【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，在△EBF和△ETG中，，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G的在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝4，BE＝1，CD＝3，∴CE＝CD＝3，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝1，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝，∴CG＝CJ+GJ＝1+，∴CG的最小值为1+，故选：B．【变式1-3】（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：，，，解得：（负值舍去），，，，，，，，过B作于H，，，，，当时，PQ的值最小，，，，，故选：A．【变式1-4】（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【解答】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：∵是等边三角形，∴，∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），∵，，点D是边的中点，∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．【变式1-5】（2022·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（        ）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM，∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF，∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C．【变式1-6】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．【答案】2【解答】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF=60°，PF=PA，∴△APF是等边三角形，∴AP=AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，由勾股定理得：，∴，∴点F1的坐标为，如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴点F2的坐标为（0，-4），∵，∴∠OF1F2=60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y=x-4，∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，设点O到F1F2的距离为h，则，∴，解得h=2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．【变式1-7】（2022·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．【答案】【解答】设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，，∴，令，，∴， ∴点在直线上运动，当时，的值最小.在中，令，则，令，则，∴，，∴．∵，∴，∴，在中，令，则，∴，∴.∵，即，解得，所以的最小值为.故答案为：．【典例2】如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 　 　．【答案】+1【解答】解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD。