【高考数学解题指导】数学初高中衔接教材.doc

目录目录 1专题一、数与式 31.数 31.1创设情境 1.2典型例题 实战演练(一) 52.式 62.1创设情境 62.2典型例题 6实战演练(二) 9专题二、函数与方程 111.常见函数 111.1创设情境 111.2典型例题 12实战演练(三) 152.一元二次方程 162.1创设情境 162.2典型例题 16实战演练(四) 193 .一元二次方程实数根的分布问题 193.1创设情境 193.2典型例题 20实战演练(五) 21专题三、数形结合 22创设情境 221. 二次函数的图象及其性质 221.1典型例题 23实战演练(六) 24 2.四个二次的联系 25实战演练(七) 282.简单的函数图象变换 292.1典型例题 29实战演练(八) 32专题四、 分类讨论 33创设情境 331. 二次函数在闭区间上的最值 331.1典型例题 34实战演练(九) 362.含参数的一元二次不等式 372.1典型例题 37实战演练(十) 393.含有绝对值不等式的解法 393.1典型例题 39实战演练(十一) 41实战演练参考答案 42专题一、数与式1.数【例1】观察下列已有数的规律，在“（ ）”内填入恰当的数．1,1,2,3,5,8,( ),21,34,( ),89, …【分析】我们观察发现：1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8, …,也就是说，从第3个数开始，每一个数是其前2个数的和．所以8后面的数是13,34后面的数是55.这一列数最初由意大利数学家斐波那契(Fibonacci,约1170~约1250)在其著作《算盘书》中提出的一个“兔子问题”，后来被广泛应用于传染病预测、植物的花瓣数、松果的排列数等．一般地，为了寻找这些数的规律，我们总是从它们相邻的数之间找规律．比如，有的是按增加或减少相同数值的规律排列，有的则按增加或减少相等的倍数排列等．【例2】求下列各算式的和：(1); (2)【分析】分数相加，一般先将分母通分，然后相加．但对上述两个问题采用这个方法显得太繁琐，甚至行不通．仔细观察算式的特征，我们发现每一项的分母是两个数的乘积，若把这一项拆成两个分数的差再进行计算，则比较简便．解 (1) (2) 如例2这种求和方法，我们称它为拆项法(也可叫裂项法)．它主要是将所求算式的每一个数或式，拆成两个数或式的差，然后求和．试一试，求算式的值.我们已学过实数的四则运算及乘方、开方运算，在高中除实数的这些运算处，还有其他的一些运算与代数式的变形．【例3】记号表示不超过的最大整数．如．试计算：．解 ．【例4】设，试比较的大小．解法一 ，，∴∴．解法二 ∵∴．化去分母中的根号，又称为分母有理化．①型的根式分母有理化法则：；②型的根式分母有理化法则：．即用平方差公式进行分母有理化．实战演练(一)1.观察下列已有数的规律，在括号内填入恰当的数：(1)( ) (2)( ) ( ) 2.我们通常用表示一列数中的第个数．已知某一列数中的第一个数，第个数与第个数满足关系式．试写出这列数中的第个数与第个数．3.计算：(1)；(2) ；(3)已知，求的值．4.计算：(1)；(2)．5.计算：(1)； (2) ; (3)．6.如果实数满足，定义一种运算“”,使。

计算：(1)； (2) ．7.设是实数，定义一种运算“”，使．(1)试计算的值；(2)试证明：；(3)试探索运算“”,你还能得到哪些性质？8.已知，求代数式的值．9.计算：(1)；(2) ．2.式2.1创设情境有人总结了“首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘”的计算技巧:两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积如：计算56 58由5 5 = 25;又有（6 + 8 ） 5 = 7,6 8 = 48因此结果为3248.同学们,你们能给出这一规律的数学解释吗?我们已经学过多项式与多项式相乘的法则．根据法则，让我们来计算下面的算式：，即．一般地，我们有以下立方和公式：．即两数和乘以这两数的平方和与这两数的积的差,等于这两个数的立方和．如果把写成，就可以由立方和公式得出立方差公式：．即两数差乘以这两数的平方和与这两数的积的和，等于这两个数的立方差．2.2典型例题【例1】用立方和公式与立方差公式计算：(1)；(2) ；(3)．(4);(5)．解 (1)．(2) ．(3)． (4) ．(5)．想一想，对例1第(5)题，如果先分别计算,,那么可以怎么算？试一试，哪种方法更简便？【例2】已知，求的值．解 由，得，∴．【例3】把下列各式分解因式：(1)； (2) ； (3) ．解 (1)．(2) ．(3) ．注意，对多项式分解因式，应观察多项式有没有公因式可提取，能否运用公式分解因式；如果一个多项式的项作适当的分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，再提取这个公因式，于是就把这个多项式分解因式，象这种分解因式的方法通常叫做分组分解法．想一想，对例3第(2)题，如果先运用立方差公式，应如何分解因式？如何把分解因式呢？先把二次项系数分解成，再把常数项分解成或，并按下图逐个进行验算： 其中只有，恰好等于一次项系数．所以．象这样借助十字交叉线把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．由于二次项系数与常数项分解的因数有多种可能情况所以运用十字相乘法分解因式时往往要经过多次尝试才能成功．值得注意的是，运用十字相乘法分解因式时，左边一列的两个数是二次项系数的因数(若二次项系数为正，只需作正因数分解)，一旦排定后就不变，然后再对常数项的因数作适当调整．【例4】把下列各式分解因式：(1)；(2) ．解 (1)，用十字相乘法把分解因式(如图)，得．∴．(2)如图，得．注意，二次项系数为负时，可先把负号提到括号的前面．二次三项式中含有两个字母时，把其中的一个字母看做常数．实战演练(二)1.填空：(1)设，则当　　　时，；当　　　时，；(2)已知，那么　　　． 2.已知，求的值．3.把下列各式分解因式：(1)； (2) ； (3)； (4) ．4.化简：(1)；(2)； (3) ．5.化简：(1) ； (2)；(3)； (4) 6. (1)用分组分解法把分解因式，分组的方法有( )A．种 B．种 C．种 D．种 (2)已知一元二次方程的两根分别是，则二次三项式可分解为( )A． B．C． D． (3)若，则的值为( )A． B． C． D．7.是正整数，且表示质数，求出这个质数．8.计算：(1)； (2) ；(3)已知，求的值．9.解方程：．专题二、函数与方程1.常见函数1.1创设情境在校园内要建一个圆形的喷水池，要求喷水口距离地面的高度为，喷头的水流呈抛物线形状，若已知喷头与水流最高点的连线与水平地面成角，且水流最高点比喷头B高，那么水池的半径至少为多少？分析:如图，建立直角坐标系，则点B的坐标为，顶点C的坐标为，点A的纵 坐标为．设二次函数的解析式为将点代入，得， 抛物线形水流的函数解析式为点A的坐标为答：水池的半径应大于m.我们知道,二次函数的解析式有三种形式(1)形如的解析式称为二次函数的一般式，一般式主要强调了二次函数形式上的特点，是按的降幂排列的一个二次三项式.（2）对一般式进行配方为的形式称为二次函数的顶点式．一般地，若已知二次函数的顶点坐标为，则二次函数的解析式为．其中顶点坐标满足.顶点和对称轴是确定一条抛物线的两个重要元素，从顶点式中可以很清楚的看出这个二次函数图象的顶点坐标及对称轴方程.（3）如果已知二次函数的图象与轴的交点横坐标为，则其解析式可设为，这种形式被称为二次函数的两根式．其中是一元二次方程的两个实数根, 是二次函数的图象与轴的两个交点，其优点是便于将二次函数和一元二次方程联系起来.在有关二次函数的题目中经常出现。

三种形式都有各自的特点，下面举例说明它们在求二次函数解析式中的应用1.2典型例题【例1】已知二次函数经过三点，求这个函数的解析式．【分析】由二次函数图象经过已知三点,故可以设一般式用待定系数法求函数的解析式;也可以分析此三点的位置特征,寻找确定对应抛物线的元素.解法一 设二次函数解析式为，将三点坐标代入，得,故这个二次函数的解析式为．解法二 注意到点B，C的纵坐标相等，且点B，C关于直线对称，故二次函数图象的对称轴为，而点A的横坐标恰好为，故点A是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为 (顶点式)，将点B或点C的坐标代入，得． 故二次函数解析式为，即【例2】设二次函数满足且它的图象与轴交于点(0，1)，在轴上截得的线段长为，求的解析式．在高中阶段的数学学习中，经常会遇到形如的函数，显然，这两个函数与初中阶段学过的一次函数及二次函数有联系，但是它们之间又有区别，即增加一个绝对值符号．本节我们来简单讨论它们的图象及性质．大家知道，,根据绝对值的意义，即可将上述函数中的绝对值符号去掉．【例3】作出下列函数的图象： (1) (2) （3）（4）【分析】这两个函数与我们熟悉的一次函数比较，可以发现，去掉绝对值符号后与一次函数联系密切，只须考虑绝对值内一次式的符号即可. 解 根据绝对值的意义，可以得到： （1） ，作出图象如图（1）;（2）作出图象如图（2）;(3) 作出图象如图（3）;(4) ,作出图象如图（4）; 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 由例题可知，实际上是一个分段函数，每一段是一次函数的一部分，对比图象可得，的图象是一条折线，它以直线为对称轴，函数值大于等于，当且仅当时，.研究它们的图象，我们可以发现：（1）对于作出的图象，可以先作出的图象（它是一条直线），只须将的图象中位于轴下方部分向上翻折（即作出关于轴对称的图象），在轴上方部分或轴上方部分不变，即可得到的图象．（2）对于作出的图象，可以先作出的图象，再将函数的图象向上或向下平移个单位，即可得到的图象.【例4】作出下列函数的图象： (1) (2) 【分析】解题的关键是去掉绝对值符号后将函数的图象转化为熟知的二次函数的图象. 解 根据绝对值的意义，可以得到：, 作出图象如图二(1);,作出图象如图二(2). 图二(1) 图二(2) 我们可以发现：(1)的图象关于轴(直线)对。