方法18：化角为边法判断三角形的形状.docx

方法18 化角为边法判断三角形的形状一、单选题1．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则的形状是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【分析】利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，再化简判断三角形的形状.【解析】因为，利用正弦定理边角互化，得到，所以，所以，即，则是直角三角形.故选：B2．在中，若，则的形状一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．不能确定【答案】A【分析】根据题中条件，先得到，利用正弦定理，即可得出结果.【解析】由可得，即，因为为的内角，所以，，因此，由正弦定得有，故为等腰三角形.故选：A.3．在中，若，则的形状一定是（ ）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故选：B【小结】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理.4．在中，角、、所对的边分别为、、，且，若，则的形状是（ ）A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根据余弦定理可知，再利用边角互化，以及条件证明，从而判断的形状.【解析】根据余弦定理可知，因为，所以，根据正弦定理可知，所以，所以，则的形状是等边三角形.故选：C5．在中，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理进行角化边可得是以为直角的直角三角形，进而得解.【解析】，由正弦定理得：，所以是以为直角的直角三角形，故.故选：C.6．在中，角所对的边分别为.且则是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定【答案】A【分析】由条件利用正弦定理可得，利用余弦定理可得角为钝角，可得答案.【解析】由可得由正弦定理可得：由余弦定理可得： ，又 所以角为钝角.故选：A7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【分析】由条件和余弦定理可得，然后化简可得答案.【解析】因为，所以由余弦定理可得，即所以，所以三角形的形状为直角三角形故选：A8．若，且，那么是（ ）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得，即可求出角，进而可得角，即可判断出的形状.【解析】由余弦定理得推论可得，因为，所以，因为，由正弦定理可得：，整理可得：，所以，所以或，因为，所以，所以，所以是等腰直角三角形，故选：B【小结】本题的关键点是熟练运用余弦定理得推论求出角，运用正弦定理化边为角求出角和角的关系，求出角，判断三角形形状的关键就是化边为角或化角为边.9．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（ ）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为的非等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形【答案】D【分析】利用平方关系式和正弦定理得，根据余弦定理求出，再根据求出，从而可得解.【解析】因为，所以，所以，根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，由得，得，得，得，得，因为为三角形的内角，所以，，所以为顶角为的等腰三角形.故选：D【小结】思路小结：判断三角形形状从两个方面入手：①利用正余弦定理角化边，利用边的关系式判断形状，②利用正余弦定理边化角，利用角的关系式判断形状.10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若，则是直角三角形D．若，则是锐角三角形【答案】C【分析】对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A错；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C正确；对D，首先根据余弦定理得到为锐角，但，无法判断，故D错误.【解析】对选项A，，故A错；对选项B，因为所以或，则是等腰三角形或直角三角形.故B错误；对选项C，因为，所以，即，即，因为，所以，，是直角三角形，故C正确；对D，因为，所以，为锐角.但，无法判断，所以无法判断是锐角三角形，故D错误.故选：C.【小结】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查三角函数恒等变换，属于常考题型.11．在中，内角，，的对边分别是、、，若，则的形状是（ ）A．等腰三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由，根据正弦定理求得，进而得到或，即可求解.【解析】因为，可得，由正弦定理得，即，又因为，则，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【小结】本题主要考查了三角形的形状的判定，以及正弦定理的应用，其中解答中合理利用正弦定理和正弦的倍角公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．的内角，，的对边分别为，，.若，则为（ ）.A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】由题意结合余弦定理化简得，即可得解.【解析】由结合余弦定理可得，化简得，即，所以为等腰三角形.故选：D.【小结】本题考查了利用余弦定理判断三角形形状的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.13．已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（ ）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】C【分析】根据三角形中三个角依次成等差数列，可得；由三边成等比，可得，代入余弦定理可求得关系，结合三角形判定方法即可得解.【解析】中，三内角依次成等差数列，则，因为，则，三边依次成等比数列，则，由余弦定理可得，代入可得化简可得，即，而，由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选：C.【小结】本题考查了等差中项与等比中项的简单应用，余弦定理求边的关系，三角形形状的判断，属于基础题.14．中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到之间的关系，从而确定出三角形的形状.【解析】因为，所以，所以，所以，所以三角形是等腰三角形，故选：B.【小结】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状.15．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（b+c+a）（b+c-a）=3bc，则△ABC 的形状为（ ）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】C【解析】由及正弦定理得，，即三角形ABC为等腰三角形．又由,得，所以由余弦定理得，，又，所以．综上，三角形为等边三角形.故选：C．16．在中，已知，则该的形状为（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】运用正弦定理以及化切为弦，将已知等式化为，结合角的范围，即可得出结论.【解析】化为，，，至少有一个是锐角，，或，或,所以是等腰三角形或直角三角形.故选:D.【小结】本题考查正弦定理边角互化，以及三角恒等变换判定三角形形状，由三角函数值确定角要注意角的范围，属于中档题.17．在中，，则一定是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，整理可得的关系，进而判断三角形的形状.【解析】，由正弦定理及余弦定理可得，，，，，，，是直角三角形.故选：B【小结】本题主要考查了综合利用正弦定理与余弦定理判断三角形的形状，考查了学生的运算求解能力.18．已知的内角的对边分别为，，则一定为（ ）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理角化边，即可得出答案.【解析】由结合正弦定理得，,从而.故选：A.【小结】本题考查利用正弦定理判断三角函数的形状，属于基础题.熟记正弦定理是解本题的基础.19．在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为（ ）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．【解析】∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．故选：B．【小结】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．20．设在中，若，且，则的形状为（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定【答案】C【分析】根据正弦定理：，化简所给条件，即可求得答案.【解析】，根据，“角化边”可得：，即：，是等腰直角三角形故选：C.【小结】本题主要考查了根据正弦定理判断三角形形状问题，解题关键是掌握正弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.21．在中，若，则是（ ）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【答案】A【分析】首先根据题意设，，，，计算，即可得到是钝角三角形.【解析】因为，设，，，，则角为中最大内角.，所以角为钝角，是钝角三角形.故选：A【小结】本题主要考查余弦定理解三角形，属于简单题.22．中，，且，则的形状是（ ）．A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】C【分析】由正弦定理可得，则，再由另一个条件结合诱导公式即可求得，由此可得答案．【解析】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，则，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，故选：C．【小结】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．二、多选题23．对于，有如下命题，其中正确的有（ ）A．若，则是等腰三角形B．若是锐角三角形，则不等式恒成立C．若，则为钝角三角形D．若，，，则的面积为或【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换，诱导公式，正弦定理，余弦定理分别对选项进行求解；【解析】对于．对A，，，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；对B，是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；对C，，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角。