教育与心理统计学第六章 方差分析（考研笔记）.docx

第六章方差分析第一节方差分析概述［用途］定义二用途方差分析也称为变异数分析：是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法：其主要功能在于分析疝量或实验数据中不ii来源的变异对感 变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反响变量是否存在显著影响即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验它 既可以比拟两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析二、方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时比拟两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组 数据之间的均数差异是否有统计意义在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了 I型错 误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了屡次进行两组平均数检验所带来的误差在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设， 即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法 确定究竟哪些组之间存在显著性差异,此时需要运用事后检验的方法来确定。

一）数据的变异砥部统计中的变异是普遍存在的，T殳意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现可变标志的属 性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和 在总体单位之间的不同表现注：随机性，即变异性2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以 用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SSao组间差异可用组间方差来表征，用符号MSB表示组间变异可以看做是组间平均数差异大小的一个指标，平均数差异大，组间变异也就越大如果研究数据的总变异是由处理效应造成的， 那么组间变异在总变异中应该占较大比例3）组内变异［组内差异］:由于实验中一些希望加以控制的非实验因素和一些未被有效控制的未知因素造成的变异，如个体差异、随机误 差，即组内变异表示个体差异和随机误差，表示由实验误差（包括个体差异）造成的变异，可将组内离差平方和记为SSEo组内差异可以 用组内方差来表征，用符号MSw表示组内平方和越大，说明实验误差越大4）总变异：总变异被分解为组间变异和组内变异两局部，记为SSk因此有：SSb二SSa , SSw=SSe , SST=SSB+SSWo总变异的计算是把所 有被试的数值作为一个整体考虑时所得到的结果，是用所有被试的因变量的值计算得到的。

5）组内变异与组间变异的关系：组内变异和组间变异相互独立，可以分解样本平均数之间的变异和样本内部的变异相差较大，就说明总 体处理中平均数之间的差异也越大这样缩减样本内部的变异，使样本平均数真正的变异能显示出来，就是所有实验研究在设计时的一个 关键二）平方和（离差平方和）（1）平方和定义：指观测数据与平均数离差的平方总和，叫离差平方和，简称平方和，英文名字为：Sum of Squares of Deviations,用符号SS表示2）平方和计算公式一平方和公式为:SS=Z（Xi-x）2e方差分析中离差平方和的表达式为2 SSt^ZKx^（三）均方与方差（1）均方①均方：在方差分析中，比拟组间差异与组内差异，不能直接比拟各自的离差平方和，因为离差平方和的大小与求离差平方和的项数/k 和n）的大小有关为消去项数的影响，要分别求其均方，即将离差平方和除以各自的自由度，并以MS表示均方又叫样本方差，它是 总体方差的无偏估计②组间均方［组间方差］：又称组间均方，以MSb表示，MSb=MSA=SSb/dfb ,其中dfb=k-l（组间自由度）③组内均方［组内方差］:组内均方,以MSw表示，MSw=MSE=SSw/dfw ,其中dfw=N-k（组内自由度）。

④总均方：以MSt表示，MSt=SSt/dft,其中dft=N-l（总自由度）因此，总均方可分解为组间均方和组内均方两局部，即MSt=MSb+MSWo 方差分析要检验的零假设Ho是k个处理的效应全部相等并均为0 ,相应的备择假设Hi是k个处理中至少有一个处理的效应不为0如果 MSA显著大于MSE,就有充分的理由拒绝H0o②将协变量对因变量的影响从自变量中别离出去,可以进一步提高实验精确度和统计检验灵敏度二.方差分析和协方差分析的异同点(I)方差分析与协方差分析的联系不管是方差分析还是协方差分析都需要对不同自变量造成的因变量之间的差异进行检验，这就是它们的共同之处2)方差分析与协方差分析的区别协方差分析是关于如何调节协变量对因变量的影响效应,从而更有效地分析实验处理效应的一种统计技术在协方差分析中，研究者不希 望协变量对实验处理产生影响，因此通常在实验处理之前对协变量进行测量，并考察协变量和因变量之间的关系，使用回归分析的手段对 因变量进行矫正，从而控制协变量因此这一方法是介于方差分析与回归分析的一种方法，这就是方差分析与协方差分析的区别第八节统计功效与效果量一、统计功效[又称统计检验力、统计效力.统计效能][南京师大1刀[中大15][苏大14]石加撰落菽假设检验中：总体的真实情况往往是未知的：根据样本推断总体可能犯两类错心①虚无假设本来是正确的;但被拒绝 了，这类错误称为弃真错误，即I型错误，用a表示该类型错误的概率，也叫a型错误。

②虚无假设本来不正确但却接受了，这类错误称为 取伪错误，即II型错误，用B表示该类错误的概率，也叫B型错误2)统计功效定义统计功效是指，在假设检验中，拒绝虚无假设后，接受正确的备选假设的概率，或者说是指某检验能够正确地拒绝一个错误的虚无假设的 能力，其实也就是正确地检验出真实差异的概率又叫统计检验力、统计效力，用1- 0表示我们知道，在假设检中有a、B两类错误a错误是弃真错误邛错误是取伪错误取伪错误是指拒绝原假设后，接受错误的备择假设的概率 在实验设计中，统计功效反响了假设检验能够正确侦察到真实的处理效应的能力3)影响统计功效的因素(统计功效的大小的取决因素)：①处理效应大小和两总体的实际差异：处理效应越明显，检验力越高当两总体实有差异越大，或处理效应越大，那么假设检验的统计功效 越大(在a错误概率不变的情况下,1 - B变大②显著性水平a的设定：显著性水平越高，检验力越高a值通常是一个人为设定的值，它是一个决策标准，通过比拟检验统计量对应的p 值与其大小关系来作出统计决策假设显著性水平a越大，那么B错误越小，而统计功效1 - 6越大；反之，a变小，1 - B变小③检验的方向性：当两总体差异一定，对于同一显著性水平a ,单侧检验比双侧检验的统计功效要大。

④样本容量济本容量越大小昧平均数分布的标准误越小」分布曲线越瘦削」样本均值分布越集中,统计检验力越高,统计功效越大二.什么是效果量？常用的指标有哪些？桌瓦鬲菽二效果量是测量自变量效果的量数;反映自变量和因变量的关联程度效果量反映了两个总体受某种事物的影口向后的差异 程度，它是实验处理效应大小的度量效果量越大，表示两总体分布的重叠程度越小，效应越明显，反之，表示两总体分布的重叠程度越 大，效应越小它不依赖于样本大小，却能反映自变量和因变量的关联强度实际效果的〃显著〃和推论统计上的〃显著〃既有联系也有 区别统计推论检验〃显著〃并一定意味着实际效果的显著,当实际处理效应不明显，而统计推论得出显著的效果时,就发生了a错误 (2)常用吵效果笃[l]d = (元实耀一元对照组)/S对照组：d是实验研究中经常使用的效果量数，它是一种比率在对两独立组平均数之差的显著性进行t检验时，d 是实验组的平均数和对照组的平均数的差与对照组标准差的比率[2]rpb2=t2/(t2+df) = t2/[t2+(ni+n2-2)] : rpb2是点二歹I」相关系数的平方，可测定两独立样本实验的效果量，也可以测定两相关样本实验 的效果量。

前者的自由度为df=nl + n2-2 , nl、n2分别是两个样本的容量；后者的自由度为df=n-l , n是成对分数的数目另一方面, 两个独立样本可以用t检验来判定其均值间是否存在显著性的差异(参见独立样本t检验局部内容1点二列相关系数和t值间存在密切关 系具体公式：rpb2=t2/(t2+df)= t2/[t2+(m+n2・2)],反之，贝!|有 t=(r/VT^)xVa?[382 [音衣他]:n是一种相关系数,它既可以表示两个变量之间直线相关的程度，又可以表示两个变量之间曲线相关的程度n系数的范 围在o.oo和loo之间，不存在负的曲线相关因为直线相关可以被看作曲线相关的特殊形式，所以n也可以在直线相关下使用n2是解释样本的自变量和因变量关联程度的描述性统计量，一般作为方差分析的效果量，不2越大，说明自变量的效果就越大，自变量对 因变量越重要如果T很小，即使有统计上的显著性，也没有实际效果92 = SSeffect/SStotal , T\2等于某因素效应(平方和)在总平方和 中所占比例蛔二是解释总体的自变量和因变量关联程度的指标,属于参数f 个刈？都有一个对应的0)2三一方差分析的效果量计算方差分析在作F检验后中，假设有效果量来支持检验结论，那么能更好地支持研究结果的延伸或推广。

计算方差分析效量的大小最为常见的公 式是：n2 = ssA/sst,式表示实验处理的变异性在总变异中所占的比重第九节统计学中的一些重要效应[一级]（一）交互作用（交互效应）［12M］举例说明交互作用的概念［中大18］［北大2005］交互作用即自变量之间的相互关系，指在多变量实验研究中出现的，当一个自变量产生的效果在第二个自变量的每一水平上不一样时，即 指一个因素的水平在另一个因素的不同水平上变化趋势不一致的现象，即因素与因素相结合而对因变量产生的影响交互作用就发生了， 产生交互作用时需进行简单效应分析在交互作用下，单独讨论每一个自变量的效应就不够了交互作用的存在为实验提供了更多的信息、, 使得实验更加具有应用价值如果两个因素彼此独立，即不管其中一个因素处于哪个水平，另一个因素的不同水平值间的差异都保持一致, 那么不会产生交互作用例：2［组间］*3［组内］的混合实验，被试对红、黄、绿三种灯光的反响是否与灯光的强度有关的实验交互作用的个数为：2n为自变量的个数）注意：交互作用，是因素之间的请给出一个交互作用的例子,并给出各种变量（因变量、自变量和控制变量）和实验设计类型［需找答案］ （二）主效应［名词解释］［915华南19］实验中由一个因素的不同水平引起的变异称彳乍因素的主效应，即一个因素对因变量产生的影响，是指在实验中单个自变量所起到的作用， 即各个自变量对同一个因变量的主要影响效应。

简单地说，主效应就是在实验中由自变量处理水平的变化而引起的被试行为的变化只有 一个自变量的实验，其主效应只有一个当同时存在多个自变量时，每个变量都有一个主效应因此，在一项实验研究中，有多少个自变 量或因素，就有多少个主效应注意：主效应，是自变量对因变量的三）简单效应［18M］［915华南15］简单效应又称简单主效应，单纯主效应，是指茬因素实验中：一个因素的水平在另一个因素的某个水平上的变异：即一个因素在另一因素 不同水平上的效应当一个因素在另一因素的不同水平上产生不同效应的时候，就出现了交互作用，在出现交互作用之后（如当方差分析 的交互作用显著后），需要进行简单效应分析，以便确定它的处理效应。