高中数学考试压轴题讲义——极值点处单调变导数调控讨论参（含答案）.pdf

专 题03 极值点处单调变，导数调控讨论参【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)函数极值的判断：先确定导数为o的点，再判断导致为的点的左、右两侧的导数符号.(2)求函数/(x)极值的方法：确定函数/(x)的定义域.求导函数广(%).求方程/(力=0的根.，检查了(X)在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点.如果左正右.负，那么/(可在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么J(x)在这个根处取得极小值；如果广(x)在这个根的左、右两侧符号不.变，则/(力 在这个根处没有极值.(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数/(X),求 方 程/(”=0的根的情况,得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.【典例指引】例 I.已知函数/(x)=x-2-H n r ,o e R.(1)求函数/(x)的极值；例 2.已知函数f(x)=xex-1-m x2-mx m 6 R(1)当m=0时，求曲线y=f(x%E点Q,f(l)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.例 3.”已知 f(x)=-2a x)lnx+2a xx?,其中a ER.2(1)若a =0,且曲线f(x)在x=t处的切线I过原点，求直线I的方程；(2)求f(x)的极值；(3)若函数f(x)有两个极值点X?x2(X1 x2),证明f(X)+f%)0：(I I)当a之一时，计论函数f(x)的极值点个数.e2.12019山东枣庄期末】已知f(x)=J-a x2(a ER).(I)求函数f(x)的极值;(II)设g(x)=xe、-f(x)，若g(x)有两个零点，求a的取值范围.【同步训练】1.己知函数=？(人)二一/一人，(其中Q EA,6为自然对数的底数，e=2.71828).(1)令(x)=/(x)+g*),求力(力的单调区间；(2)已知/(x)在x=()处取得极小值，求实数。

的取值范围.2.设/(X)=x ln x-a/+(2-1卜，a e R.(1)令g(x)=f(，求g(x)的单调区间;(2)已知/(x)在x =l处取得极大值，求实数的取值范围.3.已知函数f(x)=e、-(a-l)x+b(1)求函数f(x)的极小值；4 .设f(x)=x(l n x-l)+a(2 x-x 3，a W R-.(1)令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x=l 处取得极大值,求实数a 的取值范围.5 .设/(x)=(x l r Li +a 尤+2 一,a-2.(1)若=0,求/(x)的单调区间.；(2 )讨 於/(X)在区间(3,+o c)上的极值点个数；6 .已知函数/(x)=1)/一/?.求函数f(x)的极小.值:7 .设函数/(b x-2,求实数b 的取值范围.12 .设函数=+b l n(%+l)(b w O).(l)若函数/(x)在定义域上是单调函数，求实数的取值范围;(2)求函数/(x)的极值点；13 .已知函数/(X)=I n t +Q 尤 2 -O Y ,其中.()当1 时，求函数/(X)在 X=1 处的切线方程：(2)若函数/(x).在定义域上有且仅有一个极值点，求实数。

的取值范围.14 .已知函数/(1)=3 2当4=2 时，求曲线)=/(x)在点(3./(3)处的切线方程:(I I)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx.,讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.专 题03 极值点处单调变，导数调控讨论参【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)函数极值的判断：先确定导数为o的点，再判断导致为的点的左、右两侧的导数符号.(2)求函数/(x)极值的方法：确定函数/(x)的定义域.求导函数广(%).求方程/(力=0的根.检查/(力在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么/)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么 在 这 个 根 处 取 得 极 小 值；如 果:(4)在这个根的左、右两侧符号不变，则“X)在这个根处没有极值.(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求 字 数;(x),求方程广(=0的根的情况,得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.【典例指引】例 I.已知函数/(x)=x-2-H n r ,o e R.(1)求函数/(x)的极值；【思路引导】试寇分析：(1)求 得/(x)=l 巴二 二应,可分。

4 0和0两种情况分类讨论，得出函数的单调性，X X即可求得函数的极值；试题解析：(1)/(力=%-2-疝可定义域为(0,+8),/(x)=l-=.X X当4fo时，(力0,/(%)为(0：+8)上的增函数，所以函数“X)无极值.当0时，令“力=0,解得x =a.当上(),),/(X)(),/(X)在(),)上单调递减；当工 e(,+oo),/(x)在(a,+8)上单调递增.故/(x)在x=a处取得极小值，且极小值为-HM,无极小值.综上，当4()时，函数“X)无极值；当 0时，/(x)有极小值为-2-H na ,无极大值.点评：本题主要考杳了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属 中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.例 2.已知函数f(x)=xex-1-m x2-mx,m 6 R 当m=0时，求曲线y=f(x)在 点 处 的 切 线 方程；(2)讨论函数f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【思#各引导】(1)欲求曲线y=f(x)在点(l,f(l)处的切线方程，只需求出斜率k=f(l)和和f(l)的值，即可利用直线的点斜式方程求解切线的方程；(2)求出f(x)=xeXT+eXT-mx-m=(J i-m)(x +l)，通过讨论m的取值范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即司.，可分m 40,m 0两种情况，求出函数的单调区间，得出函数的极值.试题解析：(1)m=O0寸,f(x)=xe*S f(x)xe*l+ex S 所以*)=1,f(l)=2因此曲线V=f(x在 点 处 的 切 线 方 程 是V-l =2(x-l),即2x-y-l=0(2)f(x)=xex 1 eK 1-mx-m=(eK 1 m)(x+1)当msOfl寸，JT.E01恒成立，所以当X w(8.1)时f，)0,f(x)单调递增1 m所以当x=1时，f(x)取极小值*D=w +二a /当mOfl寸，由f&)=谓或 T S n m(i)当 即m e，寸由f(x)函x 1+Inm由f(x)函 1 X 4,BPom 函X 1由f(x)导 Inm x-1所以f(x)在(-J +Inm)上单调递增，在(1+Inm,1)上单调递减，在(-1,+)上单调递增，故X=1+Inm时，f(x)取极大值f(l+Inm)=-；m(l Inm)21 mx=1 时，f(x)取极小值*1)=e 2点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，本题的解答中涉及利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性和极值，求解函数的单调区间，涉及到分类讨论的数学思想的应用，熟记利用导数研究函数的性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.例 3.已知f(x)=(x2-2 a x)l n x +2 a x x2,其中a 6 R.2(1)若a =0,且曲线f(x 府 x =t 处的切线I过原点，求直线I 的方程；(2)求f(x)的极值；(3)若函数f(x)有两个极值点X ,x2(X 1 x2),证明f(X )+f%)0时，判断单调性可得极大值大于0,解不等式即可得到所求范围；(I I I)由(H)知当a 0且a。

1时，f(x)有两个极值f(x)点x2,f(xp+f(x2)=-a2lna+-a2+2 a-,构造函数g(x)对不等式进行证明.22试卷解析：(I)当a =06寸，f(x)=x2ln x-x f(x)=2xlnx,所以切线I的斜率k=f(t)=2H nt,又直线 过原点，所以k=J=HN 卜由 2tlnt=tint-t得Int=-t=722 乖.1 1 x所以k=)=-7，故切线I的方程为丫=-即x+Jey=0.(I I)由 f(x)=(1 2a x)lnx 2a x x2.可得 f(*)=(九 7a)lnx.,当a SOB寸沁)0=x l,f(x)0 x 1,f(x)在(l,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减,f(x)在x=l 时取到极小值，且f(l)=2a ，f(x)没有极大值；2当0 a 0 x 1 或0 x a,f(x)0 c a x l时f(x)0O xa 或0 x l,f(x)()o l x a,f(x施(0,1),(a,+8)上单调递增,在(1,a)上单调递减，f(x)在x=a 时取到极小值，且*)=|恒+.仅)在*=1时取到极大值，且f=2a-.221综上可得，当a =0时，f(x)在x=l 时取到极小值2a-,f(x)没有极大值：2?3，1当G a l时，f(x)在x=a 时取到极小值T ln a +d.2在x=1时取到极大值2a 2(I I I)由(I I)知当a 0且a w l忙，f(x)有两个极值f(x)点X，x2,31且 f(xJ+f(X2)=f(a)+f(l)=-a2lna+-a2+2a-.111所以f(xj+f(x2)-(-a2+3a)=-a2lna-a-1,1 1 a-1设g(a)=ln a-l+-,则g(a)=-,所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，aa a a由a0且a 工 1可得g(a)g=0,所以fixj+fg)-(a2+3a)-a2(lna-1+-)0,即fjxj+f%)x=-.(x-1)2当x E卜亦寸当XE(产 叩寸所 以 当2时，又l=e+3+2,g(e+l)=2e+-+4,F(x)=0g(x)=-m.e J e e(i)当 m S6ln 2,即m 2 1n260寸，F(xO恒成立，函数F(x)在区间国*取得极小值6.皿2,上无极值点;(i i)当6-ln 2 -m e -+2,即 2 V m ln26fl 寸，F(x)=oW两不同解，函数 F(x)在l,e 上有eee I两个极值点5(i i i)当 e -2 -m 2 e +-+4-2e-4 m 0；(1 1)当a 2时，计论函数f(x)的极值点个数.e【思路引导】(I)求出f(x)，令g(x)=f(x)，求出g(x)，从而判断g(x)的单调性，由g(3=o即可判断f(x)的正负情况，从而e求得f(x)在(0,$递减，(t +8成 增；当X21时，f(x)2 f成立，命题得证。

ee(I I)对a的范围分类讨论，由g(x)=f(x)的单调性求得g(x)mm，把a看作变量，求得g(x)mm的单调性，从而得11到h(a)4 h(-)=0(当且仅当a =时取等号)，再对a的范围分类讨论g(x)的单调性，从而判断f(x)的单调性，e e从而求得极值点个数解析】11 1,1 X+3,I 1 1(I)由f(x)=x-+a(ln x+l),易知 f=0,设 g(x)=f(x)，则 g(x)=,当 a NO 时，g(x)0,又f =8=0e e x e e 0 x 时，g(x)-时，g(x)0,即 f(x)在(0,-)递减，(一,+8)递增：所以当 x21 时，f(x)f(l)=-0e e e e 2 e得正1(U)由(I)可得，当a 2 0时，f(x)当且仅当在x=一处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数为I；e11当-Y a)递 增，所以 g(x)mm=g(-a)=-+a ln(-a),又设ee11,1h(a)=+a ln(-a)其 中 4 a 0,则 h(a)=l +ln(-a)SO 对 4 a )递增，又gd)=O,所以当-a S x%寸g(x)0,即3 总在x=b取得极小值；又当x。