《风险管理》教学课件：第2章布尔代数基础.ppt

第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础2.1 逻辑代数基础 2.1.1 逻辑代数的基本概念 2.1.2 逻辑函数 2.1.3 逻辑代数的公理、定理和规则 2.1.4 逻辑表达式的基本形式 2.1.5 逻辑函数的标准形式 2.1.6 逻辑函数表达式的转换2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 代数化简法 2.2.2 卡诺图化简法导航：导航：1、点击、点击“右键右键”，选择，选择“全屏显示全屏显示”全屏显示全屏显示 2、点击、点击“右键右键”，选择，选择“下一张下一张”播放播放PP 3、点击游览器左上角点击游览器左上角“后退后退”，退出退出PP 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 概述概述 研究数字系统中逻辑电路设计和分析的数学工具是布尔代数 布尔代数是由逻辑变量集K(A、B、C、)，常量“0”、“1”以及“与”、“或”、“非”3种基本逻辑运算构成的代数系统 逻辑变量集K是布尔代数中变量的集合，它可以用任何字母表示，每个变量的取值只能为常量“0”或“1” 在数字系统中使用布尔变量表示开关电路的输入或输出这些变量的每一个取值是“0”或“1”两个不相同的值0”可以代表低电压，“1”可以代表高电压。

F( False )和T( True )也可以用于表示“0”或“1” 布尔代数把矛盾的一方假设为“1”，另一方假设为“0”，使之数学化 这样可以使用布尔代数中的公理和定理对物理现象作数学演算，达到逻辑推理的目的 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 概述概述 幸运的是，在数字系统中采用的是“0”和“1”两个不同的值因此布尔代数可以用来作为分析和设计逻辑电路的数学工具 从应用的角度，布尔代数应用于逻辑电路领域称其为逻辑代数 本章介绍逻辑代数的基本理论和运算方法，其中包括逻辑代数基本概念，逻辑函数的定义，逻辑代数的公理、定理和规则，小项与大项的概念以及使用小项和大项表达逻辑函数的标准形式 在此基础上，介绍应用逻辑代数法和卡诺图法化简逻辑函数的原理与方法 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1.1 逻辑代数的基本概念 逻辑代数包含逻辑变量集K(A、B、C、)，每个变量的取值只可能为常量“0”或“1”这里的“0”和“1”没有量的概念，是用来表达矛盾双方，是一种形式上的符号 逻辑代数中逻辑变量之间是逻辑关系逻辑关系用逻辑运算符表示使用逻辑运算符连接逻辑变量及常量“0”或“1”构成逻辑代数表达式。

采用逻辑代数表示逻辑电路的输入与输出之间的逻辑关系，称逻辑函数这种电路称数字逻辑电路 逻辑函数除了使用逻辑代数表示以外，还可以使用一种称为“真值表”的表格表示 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 真值表是由输入变量所有可能取值的组合与这些组合值对应的输出变量的值构成的表格真值表分为左、右两个部分 左边部分每一列是输入变量的名字右边部分的每一列是输出变量的名字左边部分是输入变量所有的取值的组合 如果一个逻辑函数有n个变量，则输入变量所有的取值有2n个组合右边部分是把左边每一行输入变量的取值带到逻辑函数中去运算，把运算的结果“0”或者“1”填进来这样就完成了把逻辑函数用真值表表示逻辑函数有的比较简单，有的相当复杂但是它们都是由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算构成下面分别介绍这三种逻辑运算符、逻辑表达式、逻辑函数和逻辑函数符号 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础1. 逻辑函数符号 如前所述，逻辑函数是由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算构成为了象表示电阻、电容和三极管一样，用图形化的方式表示不同的逻辑函数，美国国家标准学会( the American National Standards Institute, ANSI )和美国电气与电子工程师协会(the Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE) 在1984年制定了一个逻辑函数符号标准。

如图2-1所示 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础图2-2是IEEE标准的“与”、“或”、“非”、“与非”、“或非”、“异或”、“异或非( 同或)”逻辑函数符号 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 2“与”运算 “与”运算的运算符是“”、“*”、“”或是空在本书中使用“”表示“与”运算符与”运算的定义如表2-1所示F = A B是“与”运算逻辑函数A B”称为F的“与”运算表达式 3“或”运算 “或”运算的运算符是“+”、“”本书中使用“+”表示“或”运算符或”运算的定义如表2-2所示F = A + B是“或”运算逻辑函数A + B”称为F的“或”运算表达式 4“非”运算 “非”运算的运算符是“ ”或“ ” ，本书中使用“ ” 表示“非”运算符非”运算的定义如表2-3所示F = A是“非”运算逻辑函数A是“非”运算的逻辑表达式在逻辑函数中，A称为反变量，A称为原变量 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 5“异或”运算 “异或”运算的运算符是“”。

异或”运算的定义如表2-4所示F = A B是“异或”运算逻辑函数 “异或”运算逻辑函数还可以用F = A B + A B表示 6“同或”运算 “同或”运算的运算符是“”同或”运算的定义如表2-5所示F = A B是“同或”运算逻辑函数同或”运算逻辑函数还可以用F = A B + A B表示异或”运算表达式与“同或”运算表达式有如下关系： A B A B，A B A B 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1.2逻辑函数 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 根据上面逻辑函数的定义，对于某一个具体的逻辑电路，输出变量F的值取决于由输入变量A1, A2, ，An构成的2n个组合的取值 另外，输出逻辑变量F的值还取决于逻辑电路的结构 也就是，输出逻辑变量F的值取决于输入变量A1A2，An的取值、逻辑电路的结构以及逻辑电路使用的门电路类型 逻辑函数的定义说明一个逻辑电路能够用一个逻辑函数F = f ( A1, A2, ，An )表示，即一个逻辑电路对应一个逻辑函数 讨论逻辑函数也就是讨论这个逻辑函数对应的逻辑电路。

逻辑函数的定义实现了将一个具体的逻辑电路采用抽象的逻辑函数表示，这样可以使用数学工具来研究逻辑电路 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 在数字逻辑中使用逻辑函数研究逻辑电路从两个方面进行： 一方面是在对某一个具体的逻辑电路进行分析，使用逻辑函数写出它的表达式，分析逻辑函数即分析相应的逻辑电路； 另一方面是使用逻辑函数进行逻辑电路的设计 逻辑电路的设计要求一般是用文字表述的根据文字表述，使用设计方法进行逻辑电路设计，得到的是按要求设计的逻辑电路的逻辑函数最后根据逻辑函数画出按要求设计的逻辑电路 因此，逻辑函数是逻辑电路分析和设计的重要数学工具 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 2.1.3逻辑代数的公理、定理和规则 逻辑代数系统有它的公理系统，公理系统不需要证明逻辑代数系统的公理为逻辑代数的定理提供证明的依据公理和定理也为逻辑代数证明提供演绎的数学基础1、公理系统公理1 0 - 1律 对于任意的逻辑变量A，有 A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 1A 0 = 0公理2 互补律 对于任意的逻辑变量A，存在唯一的A,使得 A + A = 1A A = 0公理3 交换律 对于任意的逻辑变量A和B，有 A + B = B + A A B = B A 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础公理4 结合律 对于任意的逻辑变量A、B和C，有 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C )公理5 分配律 对于任意的逻辑变量A、B和C，有 A + ( B C ) = ( A + B )( A + C ) A ( B + C ) = A B + A C2、基本定理根据逻辑代数的公理，推导出逻辑代数的基本定理。

定理1 0 + 0 = 01 + 0 = 1 0 + 1 = 11 + 1 = 1 00 = 010 = 0 01 = 011 = 1 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 3、逻辑代数的重要规则： 逻辑代数有三条重要规则，它们是代入规则、反演规则和对偶规则这三条规则常常使用在逻辑表达式的运算和变换中1 ) 逻辑函数的相等 如果两个逻辑函数： F1 = f1 (A1,A2,，An), F2 = f2 ( A1,A2,An) 对于逻辑变量A1，A2，An的任何一组取值，分别代入到逻辑函数F1、F2中去逻辑函数F1、F2如果都同时为“0”或者同时为“1”，则称逻辑函数F1与F2相等2）代入规则 任何一个含有逻辑变量A的逻辑等式，如果将所有出现逻辑变量A的地方都用一个逻辑函数F代入，则该逻辑等式仍然成立，这个规则称为代入规则。

第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1.5逻辑函数的标准形式 在逻辑函数的“与项”或者“或项”中，有些逻辑变量的个数与逻辑函数的变量个数相同，有些缺少其中的某些变量另外在“与项”、“或项”中有些逻辑变量全部以原变量出现，有些全部以反变量出现，还有一些以原变量和反变量混合出现 逻辑函数的标准形式是在逻辑函数表达式中全部的“与项”用“小项”组成逻辑函数的另一种标准形式是在逻辑函数中全部的“或项”用“大项”组成在逻辑电路的分析和设计中，逻辑函数时常用小项或者大项表示 另外，逻辑函数有时也需要用小项或者大项表示。

下面分别介绍小项与大项的概念，以及用小项或者大项表示的逻辑函数，即逻辑函数的标准形式 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 1.小项的定义和性质 一个有n个变量的逻辑函数F，它的一个“与项”包含有n个变量，每个变量以原变量或者反变量的形式出现在这个“与项”中，且仅出现一次，则这个“与项”称为该逻辑函数F的一个小项 一个逻辑函数完全用小项表示，则称该逻辑函数是小项标准形式 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第2 2章章 布尔代数基础布尔代数基础 2 2. .1 1 逻辑代数基础逻辑代数基。