2022版新高考数学总复习专题试题--解三角形（解析版）.docx

2022版新高考数学总复习--§4.4　解三角形— 专题检测 —一、单项选择题1.(2021北京西城一模,7)在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= (　　)A.35　　B.31　　C.6　　D.5答案　B　在△ABC中,∵sin A=6sin B,∴由正弦定理可知a=6b.又a+2b=8,∴a=6,b=1.又C=60°,∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,可得c2=36+1-2×1×6×12=31,∴c=31.故选B.解题关键　利用正弦定理将角转化为边,求出a,b是解决本题的关键.2.(2021北京东城二模,9)在△ABC中,已知∠A=π3,2a-2c=b,那么ca= (　　)A.38　　B.37　　C.715　　D.815答案　B　由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=12,又2a-2c=b,∴12=(2a-2c)2+c2-a22·(2a-2c)·c,化简得10ac=3a2+7c2,即10·ca=3+7·ca2,解得ca=37或ca=1,又b=2a-2c>0,∴ca≠1,∴ca=37.3.(2021天津四中第三次月考,5)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2acosA=3c-2bcosB,且b=5sin B,则a= (　　)A.53　　B.23　　C.35　　D.253答案　A　由2acosA=3c-2bcosB,可得2acos B=3ccos A-2bcos A,∴由正弦定理可得2sin Acos B=3sin Ccos A-2sin Bcos A,可得3sin Ccos A=2(sin Acos B+sin Bcos A)=2sin C,∵sin C≠0,∴cos A=23,∴sin A=1-cos2A=53,又∵b=5sin B,∴由正弦定理可得a53=bsinB=5,∴a=53.故选A.4.(2021河南部分重点中学3月联考,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccos A=(3b-a)cos C.若△ABC的面积为32,则c的最小值是 (　　)A.2　　B.23　　C.4　　D.12答案　B　因为ccos A=(3b-a)cos C,所以sin Ccos A=3sin Bcos C-sin Acos C,即sin Ccos A+sin Acos C=3sin B·cos C.因为sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,所以sin B=3sin Bcos C,所以cos C=13,则sin C=223.因为△ABC的面积为32,所以12absin C=23ab=32,则ab=9.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-23ab≥43ab=12(当且仅当a=b时,等号成立),则c≥23.故c的最小值为23.5.(2021河南顶尖计划第三次大联考,12)在△ABC中,AB=3,AC=2BC,则△ABC的面积的取值范围是 (　　)A.(0,2]　　B.[1,3]　　C.(0,3]　　D.(0,6]答案　C　设BC=x,x>0,则AC=2x,由余弦定理的推论可知cos B=9+x2-4x26x=3-x22x.△ABC的面积为12×AB×BC×sin B=32x1-3-x22x2=3416-(x2-5)2,由2x-x<3<2x+x得1c,故B>C,因为∠AMB=π6+∠C,∠AMC=π6+∠B,故∠AMB<∠AMC.即∠AMB为锐角,故cos∠AMB=37,所以tan∠AMB=233,故选B.7.(2021安徽皖北教研联合体4月联考,10)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则b+ca的取值范围为 (　　)A.(2+1,3+2)　　B.(2+1,3)C.(3,3+2)　　D.(3,+∞)答案　A　由正弦定理得b+ca=sinB+sinCsinA=sinB+sin(A+B)sinA=sin2A+sin(A+2A)sinA=sin2A+sinAcos2A+cosAsin2AsinA=2cos A+cos 2A+2cos2A=4cos2A+2cos A-1,因为△ABC为锐角三角形,所以0B,则sin A>sin BB.若a=4,b=5,c=6,则△ABC为钝角三角形C.若a=5,b=10,A=π4,则符合条件的三角形不存在D.若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC为直角三角形答案　ACD　对于A选项,若A>B,则由三角形中大角对大边可得a>b,再由正弦定理,可得2Rsin A>2Rsin B,∴sin A>sin B,因此A正确;对于B选项,由于a=4,b=5,c=6,∴c>b>a,∴∠C最大,又∵cos C=42+52-622×4×5=18>0,∴△ABC为锐角三角形,因此B不正确;对于C选项,由于a=5,b=10,A=π4,且bsin A=10sin π4=52>a,则符合条件的三角形不存在,所以C正确;对于D选项,由于bcos C+ccos B=asin A,所以利用正弦定理将边化为角可得,sin Bcos C+sin Ccos B=sin A·sin A,∴sin(B+C)=sin A·sin A,∴sin A=1,∴A=π2,则△ABC为直角三角形,所以D正确.三、填空题11.(2021北京延庆一模,14)已知△ABC的面积为23,AB=2,∠B=π3,则sinBsinC=　　　　. 答案　3解析　∵S△ABC=12·AB·BC·sin B=12·2·BC·32=23,∴BC=4,∴由余弦定理可知AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=22+42-2×2×4×12=23,∴sinBsinC=ACAB=232=3.12.(2021宁夏银川一模,15)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinB+C2cosB+C2=4-4cos2A2,b+c=10,△ABC的面积为4,则a=　　　　. 答案　6解析　由A+B+C=π及题意,得sinπ2-A2cosπ2-A2=4-4cos2A2,所以cosA2sinA2=4sin2A2.因为sinA2≠0,所以cosA2=4sinA2,即tanA2=14,求得sinA2=117,cosA2=417,所以sin A=2×117×417=817,cos A=4172-1172=1517,故S△ABC=12bcsin A=417bc=4,所以bc=17.由余弦定理及b+c=10,可得a2=b2+c2-2bccos A=102-2×17-2×17×1517=36,解得a=6.思路分析　根据已知条件结合A+B+C=π先求出sinA2,cosA2的值,从而求出tanA2的值,进而求出sin A,cos A的值,再结合△ABC的面积公式以及余弦定理即可得出答案.13.(2021河南高三毕业班3月适应性测试,16)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥BD,AB=BD,BC=CD,AD=2,在△ABC中,∠BAC,∠ABC,∠BCA的对边分别为a,b,c,若c2=2ab·cos∠BCA,则△ACD的面积为　　　　. 答案　22解析　∵AB=BD,AB⊥BD,∴在等腰直角△ABD中,AD=2AB=2c,在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-2ab·cos∠BCA=c2,又c2=2abcos∠BCA,∴a2+b2=2c2,又∵a=BC=CD,b=AC,AD=2c,∴AC2+CD2=AD2,∴AC⊥CD,作CF⊥BD并延长分别交BD,AD于点F,E(图略),∵BC=CD,∴E,F分别为线段AD,BD的中点,∴∠CED=45°,CE=ED=1,∴S△ACD=2S△ECD=2×12×EC×ED×sin 45°=22.14.(2021浙江五校高三下联考,15)已知函数f(x)=。