2021年空间向量与立体几何期末专题复习题.pdf

学习必备欢迎下载（选修 2-1 第三章）空间向量与立体几何期末复习一、选 择题1若 a(0,1， 1)，b(1,1,0)，且 (a b)a，则实数 的值为 ()A 1 B0 C1 D 2 2若向量 a(1， ，2)，b(2， 1,2)，a，b 夹角的余弦值为89，则 等于 ()，A2 B2 C 2 或255D2或2553已知 a(2， 1,2)，b(2,2,1)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为()A65B652C4 D8 4如图， 在四面体 ABCD 中，已知ABb，ADa，ACc，12BEEC，则DE等于 ()A2133abcB2133abcC2133abcD2133abc5在三棱锥PABC 中， ABC 为等边三角形， PA平面 ABC，且 P AAB，则二面角APBC 的平面角的正切值为()A6B3C66D626正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F 分别是 BB1，CD 的中点，则点F 到平面 A1D1E 的距离为()A310aB3 710aC3 510aD710a7若向量MA MB MC，的起点与终点MABC， ， ，互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则能使MA MB MC，成为空间一组基底的关系是（）111333OMOAOBOCMAMBMC1233OMOAOBOC2MAMBMC8. 如图 , 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中, 若 AB=BB1, 则 AB1与 C1B所成的角的大小为( ). A.60 B.90C.105D.75二、填空题9若向量 a(4,2， 4)，b(1， 3,2)，则 2a (a2b)_精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载10、|a|b|5，a，b的夹角为 60 ，则 |ab|. 11、已知 M=(2,-5,-3),N(-4,9,-5) ，则线段MN中点的坐标是 _12已知a=3 ,6, +6, b= +1,3,2, 若ab,则= . 13. 若a=3,m,4 与b=-2,2,m 的夹角为钝角，则m 的取值范围是. 14若向量)2 ,3,6(),4,2, 4(ba，则(23 ) (2 )abab_。

15. 在正四棱锥S-ABCD中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD的中点 ,且 SO=OD, 则直线 BC与平面 PAC所成的角为. 三、解答题1. 2012福建卷 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中， AA1AD1，E 为 CD 中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱 AA1上是否存在一点P，使得 DP平面 B1AE？若存在， 求 AP 的长；若不存在，说明理由； (3)若二面角 AB1EA1的大小为30 ，求 AB 的长2. 如图 4，在正三棱柱111ABCA B C中，2ABAAD是11A B的中点，点E 在11AC上，且DEAE （1）证明平面ADE平面11ACC A（2）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载3. 【北京市丰台区20XX届高三上学期期末理】（本题共 14分） 如图，在三棱锥 P-ABC中， PA=PB=AB=2 ，3BC，90ABC, 平面 PAB平面 ABC ，D、E分别为 AB、AC中点 . （）求证： DE平面 PBC;（）求证： ABPE； （）求二面角A-PB-E 的大小 . EDABCP4. 2012全国卷 如图 11，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA底面 ABCD，AC22，PA2，E 是 PC 上的一点， PE2EC. (1)证明： PC平面 BED；(2)设二面角 APBC 为 90 ，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小5如图， AC是圆 O的直径，点B在圆 O上，交 AC于点 M ， EA平面 ABC ，FCEA，AC=4，EA=3 ，FC=1,（1）证明；（ 2）求三棱锥的体积（3）求平面和平面所成的锐二面角的正切值. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载6. ( 北京市十一学校) 如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa, 点E在棱PC上( ) 问点E在何处时，/PAEBD平面，并加以证明；( ) 当/PAEBD平面时, 求点A到平面EBD的距离；( ) 求二面角CPAB的余弦值 . 7. 2012北京卷 如图 19(1)，在 RtABC 中， C90 ，BC3，AC6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE2，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使A1CCD，如图 18(2)(1)求证： A1C平面 BCDE ；(2)若 M 是 A1D 的中点，求CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由EPDCBA精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载8. 已知一四棱锥P ABCD 的三视图如下，E是侧棱 PC上的动点。

求四棱锥PABCD 的体积；（）当点E在何位置时，BDAE？证明你的结论; （）若点E 为 PC的中点，求二面角DAEB 的大小高二理数（选修 2-1 第三章）空间向量与立体几何期末复习答案DCAA ACCB 9. 32 10. 5 11. (-1, 2,-4) 12. 2 13、m0，则 P(0,0,2)，E423，0，23，B(2， b,0)于是 PC(22，0， 2)，BE23，b，23，DE23， b，23，从而 PC BE0，PC DE0，故 PC BE，PC DE. 又 BEDEE，所以 PC平面BDE. (2)AP(0,0,2)，AB(2， b,0)设 m(x，y，z)为平面 PAB 的法向量，则 m AP 0，m AB0，即 2z0，且2xby0，令 xb，则 m(b，2，0)设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则n PC0，n BE0，即 22p2r0 且2p3bq23r0，令 p1，则 r2，q2b，n 1，2b，2 . 因为面 PAB面PBC，故 m n0，即 b2b0，故 b2，于是 n(1，1，2)，DP(2，2，2)，cosn，DPn DP|n|DP|12， n，DP 60 . 因为 PD 与平面 PBC 所成角和 n，DP互余，故PD 与平面 PBC 所成的角为30 . 5. 试题解析： EA面 ABC,BM面 ABC,EA MB ， MB AC,ACEA=A,MB 面 ACEF ，EM面 ACEF,EM MB ， 在直角梯形ACEF中,EA=3,FC=1,AC=4 ，EF=，在 Rt ABC中, BAC 30,BMAC ， AM=3,CM=1 ， EM=,MF=， EF2=EM2+MF2， EM MF, 又 MB MF=M ， EM 面 MBF, BF面 MBF ， EM BF 8 分由 (1) 知, MB 面 ACFE ，在直角梯形ACEF中， 14 分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(3) 延长交于，连结，过做，垂足，EA面 ABC ，面ABC ，面 AC，面C，面 C，为平面BEF与平面 ABC所成的二面角的平面角，在直角梯形ACEF中， 2，, 在中， CG=1,在 RtCGF中,FC=1， =，平面 BEF与平面 ABC所成的锐二面角正切值为1 14 分6. 解 () 当E为PC中点时，/PAEBD平面连接AC，且ACBDO，由于四边形ABCD为正方形，O为AC的中点，又E为中点，OE为ACP的中位线，/PAEO，又PAEBD平面，/PAEBD平面.( ) 作POABCD平面, 依题意O是正方形ABCD的中心 , 如图建立空间坐标系. 则2(0,0,)2Pa,2(,0,0)2Aa , 2(0,0)2Ba，2(,0,0)2Ca，2(0,0)2Da，22(,0)44Ea，222(,)424EBaaa，(0,2 ,0)DBa，22(0,)22BPaa，设面EBD的法向量为( , , )nx y z222042420axayazay(1,0,1)n, 点A到平面EBD的距离为2122|2an PBdan. ( ) 设二面角CAPB的平面角为，平面PAB的法向量为(1,1,1)n. 设平面PAC的法向量为OFABCDPE精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2( , , )nx y z, 12(0,0)2nOBa. 11232cos3232an nn na. 7.解： (1)证明：因为AC BC，DE BC，所以 DE AC，所以 DE A1D，DE CD，所以 DE平面A1DC，所以 DE A1C.又因为 A1C CD，所以 A1C平面BCDE. (2)如右图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则 A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面 A1BE 的法向量为n(x，y，z)，则 n A1B0，n BE0.又A1B(3,0， 23)，BE(1,2,0)，所以3x23z0，x2y0.令 y1，则 x2，z3，所以 n(2,1，3)设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 ，因为 CM(0,1，3)，所以 sin |cos(n，CM)|n CM|n|CM|48422.所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为4. (3)线段 BC 上不存在点P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中 p 0,3 设平面 A1DP 的法向量为m(x，y，z)，则 m A1D0，m DP0. 又A1D(0,2， 23)，DP(p， 2,0)，所以2y23z0，px2y0.令 x2，则 yp，zp3. 所以 m2，p，p3.平面 A1DP平面A1BE，当且仅当m n0，即 4pp0. 解得 p 2，与 p 0,3 矛盾所以线段BC 上不存在点P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直8. 【解析】 （）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD 的底面是边长为1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD ，且 PC=2. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载-2分( ) 不论点 E在 PC上何位置，都有BDAE-3分证明如下：连结AC， ABCD是正方形BD AC PC 底面 ABCD 且平面BDPC-5分又BD 平面 PAC 不论点E在何位置，都有AE平面 PAC 不论点E在何位置，都有BD AE -7分() 解法一：在平面DAE内过点 D作 DG AE于 G，连结 BG CD=CB,EC=EC, ED=EB, AD=AB EDA EBA BG EA 为二面角 DEAB的平面角 -10分BC DE, AD BC AD DE 在 R ADE中=BG 在 DGB中，由余弦定理得=-12分 解法二：以点C为坐标原点，CD所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则, 从设平面 ADE和平面 ABE的法向量分别为由可得：，同理得：。

令，则，-10分精品学习资料 可选择p d f - 。