2025年高考数学复习题型突破训练：指数与指数函数（解析版）.pdf

第03讲 指数与指数函数目录第一部分：题型篇.1题型一：重点考查指数和指数塞的运算.1题型二：重点考查指数函数的定义.3题型三：重点考查指数函数的图象过定点.5题型四：重点考查指数函数的定义域.7题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数）.8题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用.1 0题型七：重点考查指数函数的综合性问题.1 3题型八：重点考查指数函数模型的应用.2 0第二部分：方法篇.2 3方法一：可化为一元二次函数型.2 3方法二：分类讨论.2 5第一部分：题型篇题型一：重点考查指数和指数幕的运算典型例题例 题 1.（2023 上海崇明上海市崇明中学校考模拟预测）若 2“=7,logg3=6,则49【答案】y【详解】由 2=7,log83=6 可得：=log27,fe=log23 3=1log23,f =4幅 7-3*?%3 =4嗨7-晦3=4晦!=2,8 2 499故答案为:例题2.（2023春呐蒙古赤峰福一校考阶段练习）2脸3+（lg5）2 +lg21g50-弓【答案】y13/4 11【详解】2Iosi3+(1g5)2+1g21g50-|2=3+(lg5)2+lg2(lg5+lgl0)-4=3+(lg5)2+lg2(lg5+l)-1+l=y+(lg 5)2+lg21g5+lg2=y+lg 5(lg5+lg2)+lg2=y+lg51gl0+lg213故答案为：y.例题3.（2023 全国高三专题练习）已知&+i，则.=a+a【答案】2及-1【详解】a21=V2+1，a+ua2x-1+百 p i+2 H l.V2+1故答案为：2/-1精练核心考点1.（2 0 2 3 全国高三专题练习）已知x,ye（O,+s）,则刈的最大值为【答案】2【详解】=3 ，x 4 =2）,即 x +2 y-4 ,:.x y=K-l y 0）,则 +2 +/=/，二 a +=”一 2 ,同理得 a 2 +/=（产-2 y-2 =7 ,.t2=5（/=一 1 舍去）题型二：重点考查指数函数的定义典型例题例 题 1.（2 0 2 3 全 国 高一专题练习）下列函数是指数函数的是（）A.y x4 B.y=3 2 C.y=nx D.7 =（-4）1【答案】C【详解】对于A,y=x 4 是幕函数，对 于 B,=3 x 2,系数不为1,不是指数函数，对于C,=兀，是底数为兀的指数函数，对 于 D,y=（-4 f底数不满足大于0且不为1,故不是指数函数，故选：C例题2.（2 0 2 3 全国高一专题练习）若函数/（x）=（a-l）为指数函数，则。

的取值范围是【答案】12,【详解】/（x）=（o-l）A为指数函数，贝！或一 1 1,解得：1 2,故答案为：12,例题3.（2 0 2 3 高一课时练习）下 列 函 数 中 是 指 数 函 数 的 是（填序号）.y=2.（行）；J=2T；N =d；y =xX 5 了 =3 三；y=x【答案】【详解】y=2.（也了的系数不是1,不是指数函数；=2 一的指数不是自变量x,不是指数函数；了二1；是指数函数；=/的底数是x 不是常数，不是指数函数；了 =3-1 的指数不是自变量x，不是指数函数；=，是幕函数.故答案为：精练核心考点1.（2 0 2 3,全国高三专题练习）函数y=（a-2）2 优是指数函数，则（）A.3 B.a=1 C.a=3 D.Q0 且a w l【答案】C【详解】由指数函数定义知（-2）2=1,同时0,且4 W 1,所以解得3.故选：C2.（2 0 2 3 春 河北高三统考学业考试）若函数y=（小一机-1）”是指数函数，则 加 等 于（）A.一 1 或 2 B.-1【答案】Cm2-m-1【详解】由题意可 得 加 0,解得加=2.加w 1故选：C.3.（2023全国高一专题练习）若 函 数/）=（；。

3 优（0,且“w l）是指数函数，则答案】8【详解】解：因为函数是指数函数，所以一a 3=1,所以a=8.2故答案为：8.题型三：重点考查指数函数的图象过定点典型例题例 题 1.（2023秋福建宁德高一统考期末）函数（.0 且 分 1）过定点.【答案】【详解】因为 储（0 且 1）过定点（0,1）,令2x+l=0得：x=-g,故/一|=1-1=0,故过定点坐标故答案为：,例题2.（2023秋吉林松原高一松原市实验高级中学校考期末）函数/（x）=3/7+5（且的图象恒过定点P,点尸又在基函数g（x）的图象上，则 g（-2）的值为.【答案】-8【详解】由尤-2=0可得，x=2,所以尸（2,8）.设 g（x）=f 由 g =8 可得，28,所以 a =3,即有 g（x）=x3,所以 g（-2）=（-2）3 =-8.故答案为：-8.例题3.（2023 全国高三专题练习）已知函数/（尤）=-2 4*+（?-2,0）所过的定点在一次函数2 4y=2x+l 的图像上，则 三 十色的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.m+2 n【答案】y【详解】令 X+加=0 得%=一次，由题意得了（%）过的定点为（冽，2）,贝!|九 一 2=-2加+1,2（加+2）+=7（+-）2（m+2）+M =8+-+-8 +2V16=16,m+2 n m+2 n当且仅当 工=亚*即%=-=1 时等号成立，m+2 n 4 2故-的最小值为一，m+2 n 7故答案为：精练核心考点1.（2023高 一单元测试）函数了=a-+4（a 0 且 aw l）的图 象 恒 过 定 点.【答案】（3,5）【详解】当x=3时，=/+4 =5,;.歹=优-3 +4 的图象恒过定点（3,5）.故答案为：（3,5）.2.（2023秋上海浦东新高一上海市实验学校校考期末）记函数y=3优一 8-1 所过定点为尸，若尸位于幕函数 x）的图象上，贝 U-27）=.【答案】-3【详解】在函数了 =3罐-8-1 中令无一 8=0得x=8,故y=3广-1所过定点为尸（&2）,设 x）=/,将P（8,2）代入得2=8。

所以a=；，故/（x）=，所以 -27）=（27）3=-3.故答案为：-33.（2023,全国高三专题练习）函数了=优 +1图象过定点A,点A 在直线加尤+，沙=3（机上，贝！-1L-+-2最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.m-1 n【答案】1Q/4.5【详解】当x=l 时，y=a +l=2,.i=优 7+1 过定点/（1,2）,又点A 在直线式+即=3 上，m+2n=3,即（加-1）+2 =2,m l,n 0,/.m-1 0,一(T)+2)_if5+nr i gH)=92 v m-1 n 2 7（当且仅当3-=2(7 T),即根=*,=2 时取等号)，m-n 3 32 Q+1 的最小值为71m-19故答案为：题型四：重点考查指数函数的定义域典型例题例 题 1.（2023 全国高三专题练习）函 数/（力=户 口 的 定 义 域 是（）A.!,+0,则2 T 耳,即-x 3,解得 x 的 定 义 域 是.【答案】小，3【详解】由题意可知3-.0,故函数”2 士的定义域是 小片3 ,故答案为：旧3 .2.（2 0 2 3 上海高一专题练习）函数/（x）=52-4的定义域为.【答案】2,+co）【详解】令 2,-4 2 0 0 2*2 个 nx e 2,+oo）.故答案为：2,+s）.题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数）典型例题例 题 1.（2 0 2 3 秋内蒙古呼和浩特高一铁路一中校考期末）函数y =的值域为（）A.；,+j B.C.（0,1【答案】D【详解】令一 2 x,贝 1幼=（；，*.*?=x2-2 x =（x -1）2-1 -1,，尸 出 e（O,2 ,.函数y =的值域为（0,2 ,故选：D例题2.（2 0 2 3 上海静安统考二模）已知函数/（力=【答案】（o j【详解】,函数=（。

0）是偶函数，,f2T ,（X）/（%）n =-_ Q =Q =/1v）v 7 2-x+l 2X+1 2X+1 aD.（0,2 出50）为偶函数，则 函 数 的 值 域 为-,二 x)=察，易得设;=(行)工9 0),t 1,1则 y=7 n=二T F,I H t当且仅当/=,即/=1时，等号成立，t所以0 (1)是指数函数.(1)求实数”的值；已 知 g(x)=r(x)-2 x)+3,x e -l,2 ,求 g(x)的值域.【答案】3(2)2,11,2a 57=1【详解】(1)解：由题意可 得10，解得a=3.1 W 1(2)解：由 可得/(切=2工，因为x e -l,2 ,令”/(x),/e 1,4,令万=2，+3=(i y+2,则 g(x L=2,g(x)_=A(4)=ll,因此，函数g)的值域为2,11.精练核心考点1.(2023,高一课时练习)函数 =4工+23+3 的 值 域 为.【答案】(3,内)【详解】解：令1 =2 0),二函数 了 =4*+2向+3(工火)化为/(/)=+21+3=(/+1)2+2(/0),./(03，即函数y=4、2工-+3 的值域为(3,内).故答案为：(3,收)2.(2 0 2 3 秋,新疆乌鲁木齐高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末)已知函数/(切=心日且a wl)满足1)=(.求函数的值域.【答案】(0,1【详解】由题意可得/(1)=/，故/(x).|2 x-l|0,且y =U 在R上单调递减，.0 0，所以年+1 1，所以0 三1 1 1 所以-2 -亍 7 口 0，所以-1 /(x)例 题 1.(2 0 2 3 秋山东临沂高一校考期末)若。

0 且 1,函数J 满足对(4一 0.5)+2,%XJ(X|)+(X2)成立，则实数的取值范围是()A.(l,+o o)B.(1,8)C.(4,8)D.4,8)【答案】D【详解】解：.西/（演）+%2/（%2）%2/（石）+石/2），对任意的实数项工2都有01-2 ）/（%）-/（马）0 成立，可知函数/（%）在R上单调递增，a 1 0,解得a 4,8）,a1 （4-0.5）xl+2故选：D.例题2.（2023 全国高三专题练习）已知函数/（x）=/T （为常数）.若/（X）在区间 1,+8）上是增函数，则的取值范围是（）A.（-,1）B.（8,1 C.（1,+）D.1,+）【答案】B【详解】因为函数？=6、为增函数，若/（x）在区间 1,+上是增函数，由复合函数的单调性知，必有，=k-|在区间 1,+8）上是增函数，又，=卜-a|在区间 a,+0 0）上是增函数，所以 l,+c o）q a,+c o）,故有a W l.故选：B.例题3.（2023 全国高三专题练习）已知定义域为R 的函数/（）=-3 +六 则 关 于 亡 的 不 等 式f （广一2/（2/T）0 的解集为.【答案】（-*-：|。

1,+旬.【详解】函数/（x）=-；+的定义域为R.因为/1）=1+*=一；+总，所以/（T+/（X）=T+七4=所以/（-X）=-/（力，即/（X）是奇函数.因为k2,为增函数所 以 尸 占 为 减 函数所以x）=十 六在R上为减函数.所以/（/-2，）+/（2一1）0,又了=/-&+1 7=4)2 +1 在(0,4 上单调递减，在(4,+划 上 单 调 递 增.令 4,得 x /(%2),则函数 x)为尺上的增函数,由，解得x L故选：A.ax,x 0 且若函数/(、)=5 是R上的单调函X H C L 3.X2I 2数，则实数的取值范围是【答案】2【详解】由题意可知，当x 2 时，函数/(x)单调递增，所以函数/(x)是R 上的单调递增函数，a可得,2 5，解得a2 2+-a-3I 2故答案为：(1,2.3.(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=e+e T-”,则使得 2 a)f(0-3)成立的的取值范围是.【答案】-3 时,“)一 小)=户 -+尸-六)”一)”&+,而 e、y“点 至)&所以/(%)-/(%)0,故在(上x)递 增,则(一*0)。