微积分在经济中应用.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑微积分在经济中应用 第十二章 微积分在经济中的应用 §1.1 微积分在经济中的应用内容网络图 微积分在经 济中的应用 数列在经济中的应用 复利 年有效收益 连续复利 本金函数 平均最小本金 需求函数 供应函数 均衡价格 收益函数 利润函数 最大利润 边际函数 供应弹性 弹性函数 需求弹性 收入流的现值 收入流的将来值 消费者剩余 生产者剩余 求最大利润 把经济中的某些问题转化为常微方程来求解 极限在经济中的应用 导数在经济中的应用 积分在经济中的应用 偏导数在经济中应用 常微分方程与差分方程 在经济中的应用 §1.2内容提要与例题 一、极限在经济中的应用 1.复利. 例1 X银行供给每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y银行供给每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？ 解 两种处境中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.假设存入100元，那么余额A为 一年后：A=100（1.08）， 两年后：A=100（1.08）2，?，t年后：A=100（1.08）t. 而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。

因此，假设同样存入100元，那么在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4 元，所以余额B为 ×t 一年后：B=100（1.02）4，二年后：B=（1.02）42，?，t年后：B=（1.02）4 留神这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下， · ·406 计算一年后的总余额显示 一年一次复利：A=100（1.08）=108.00，一年四次复利：B=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管区别不是很大）. 2.年有效收益 由上面的例子，我们可以测算出复利的效果，由于在一年支付四次，复利为年利率的8%的条件下投100元，一年之后可增加到108.24元，我们就说在这种处境下年有效收益为8.24%. 我们现在有两种率来描述同一种投资行为：一年支付四次的8%复利和8.24%的年有效收益，银行称8%为年百分率（或年利率）或APR（aannual percentage rate），我们也称为票面利率（票面的意思是“仅在名义上”）.然而，正是年有效收益切当地报告你一笔投资所得的利息究意有多少.因此，为对比两种银行帐户，只须对比年收益. 例2 银行X供给每月支付一次，年利率为7%的复利，而银行Y银供每天支付一次，年利率为6.9%的复利，哪种收益好？若分别用100元投资于二个银行，写出t年后每个银行中所存余额的表达式. 解 由题意知，设在银行X的一年后的余额为A1，t年后的余额为At；设在银行Y的一年后的余额为B1，t年后的余额为Bt.由题意知 0.0712)?100(1.005833)12?100(1.072286)?100(1.0723), 120.069365 B1?100(1?)?100(1.000189)365?100(1.071413)?100(1.0714), 365所以银行X帐户年有效收益?7.23%，银行Y帐户年有效收益?7.14%.因此，银行X供给的 A1?100(1?投资行为效益好.t年后每个银行中所存余额那么为 At?100(1.072286)t?100(1.0723)t,Bt?100(1.071413)t?100(1.0714)t. 由此，我们可以得出：假设年利率为r（票面利率）的利息一年支付n次，那么开初始存款为P元时，t年后余额At那么为At?P(1?3. 连续复利 在上式中，令n??,得At?Pe,假设初始存款为P元的利息水平是年率利为r的连续复利，那么t年后，余额B可用以下公式计算：B?Pert.在解有关复利的问题时，重要的是弄清利率是票面利率还是年有效收益，以及复利是否为连续的. 在现实世界中，有大量事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周边介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消散过程等等. 例3 设某酒厂有一批新酿的好酒，假设现在（假定t=0）就售出，总收入为R0（元），假设窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为R?R0e2t5rtrnt)(r是票面利率). n. 假定银行的年利率为r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求r?0.06时的t值. 解 根据连续复利公式，这批酒在窖藏t年末售出总收入R的现值为A(t)?Re ?rt，而 ·407· R?R0e2t5，所以A(t)?R0e2t?rt2t?rt5dA?R0e5.令dt12t?rt(15t?r)?0，得唯一驻点t0?125r1. 25r2dA又22?R0e5dt于是，t0?d2A[(?r)?],那么有23dt5t10t12t?t0?R0e(?12.5r3)?0. 11是极大值点即最大值点，故窖藏（年）售出，总收入的现值最大. t?25r225r2100 当r?0.06时，t??11（年）. 94. 现值与将来值 一笔P元的存款，以年复利方式计息，年利率为r，在t年后的将来，余额为B元，那么有 B?P(1?r)t或P?B.t (1?r)B. r(1?)ntnrt若把一年分成n次来计算复利，年利率仍为r，计算t年，并且假设B元为t年后P元的将来值，而P元是B元的现值，那么B?P(1?r)nt或P?n当n趋于无穷时，那么复利计算息变成连续的了（即连续复利），即B?Pe或P?B?Be?rt. rte例4 你买的彩票中奖1百万元，你要在两种兑奖方式中举行选择，一种为分四年每年支付250 000元的分期支付方式，从现在开头支付；另一种为一次支付总额为920000元的一次付清方式，也就是现在支付.假设银行利率为6%，以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑奖方式？ 解 我们选择时考虑的是要使现在价值（即现值）最大，那么设分四年每年支付250 000元的支付方式的现总值为P，那么P?250000?250000e ?250000?235411?221730?208818?915?0.06?250000e?0.06?2?250000e?0.06?3 989?920000. 因此，最好是选择现在一次付清920 000元这种兑奖方式. 二、导数在经济中的应用 1. 导本金函数 某产品的总本金C是指生产确定数量的产品所需的全部经济资源投入（如劳动力、原料、设备等）的价格或费用的总额，它由固定本金C1与可变本金C2组成，平均本金C是生产确定量产品，平均每单位产品的本金. 设产品数量为q，本金为C，若生产的产品越多，本金就越高，所以C是增函数，对多数产品来说，如杯子、彩电等，只能是正整数，所以C的图象通常如图12-1所示 · ·408 图12-1 图12-2 图12-3 但我们通常将C的图象看成一条通过这些点的连续曲线（图12-2），这样，对于研究问题更有利.本金函数通常具有如图12-2所示的一般外形（也有特殊的情形），C轴上的截距表示固定本金，它是即使不生产也要支出的费用（例如厂房、设备等）.本金函数最初增长很快，然后就逐渐慢下来，由于生产产品的数量较大时，要比生产数量较少时的效率更高，即所谓规模经济.当产量保持较高水平日，随着资源的逐步匮泛，本金函数再次开头较快增长，当不得不更新厂房、设备时，本金函数会急速增长.因此，C（q）开头时是下凹的，后来变成上凹. C为平均本金，设C1为固定本金，C2为可变本金，那么C?C1?C2(q),C(q)?C(q)C1C2(q)??. q2. 收益函数 总收益R是企业出售确定量产品所得到的全部收入. 平均收益p是企业出售确定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的价格，用p表示.p与q有关，因此，p?p(q).设总收益为R，那么R?qp?qp(q). 3. 利润函数 设利润为L，那么利润=收入— 本金，即L?R?C. 4. 需求函数 “需求”指的是顾客添置同种商品在不同价格水平的商品的数量.一般来说，价格的上涨导致需求量的下降. 设p表示的商品价格，q表示需求量.需求量是由多种因素抉择的，这里略去价格以外的其它因素，只议论需求量与价格的关系，那么q?f(p)是单调裁减函数，称为需求函数（图12-3）. 若q?f(p)存在反函数，那么p?f?1(q)也是单调裁减函数，也称为需求函数. 根据市场调查，可得到一些价格与需求的数据对(p,q).常用以下一些简朴初等函数来拟合需求函数，建立阅历曲线. q?b?ap,a?0,b?0;q?kk,k?0,p?0,p?a,a,k?0,p?0;q?ae?bp,a,b?0. pp5. 供应函数 “供应”指的是生产者将要供给的不同价格水平的商品的数量.一般说来，当价格上涨时，供应量增加.设p表示商品价格，q表示供应量，略去价格以外的其它因素，只议论供应与价格的关系，那么q??(p)是单调增加函数，称为供应函数（图12-3）. 若q??(p)存在反函数，那么q??(p)也是单调增函数. ·409· ?1我们常用以下函数拟合供应函数，建立阅历曲线. q?ap?b,a,b?0;q?kpa,k,a?0;q?aebp,a,p?0. 6. 衡价格 均衡价格是市场上需求量与供应量相等时的价格.在图12-3中表示为需求曲线与供应曲线相交的点处的横坐标p?p,此时需求量与供应q称为均衡商品量. 如图12-3所示,当p?p时(不妨设p?p1),此时消费者梦想添置的商品量为q需,生产者卖出商品量为q供.由于q供?q需,市场展现了商品供不应求,会形成抢购,从而导致价格上涨,即p增大，因而生产者增加产品的生产，有p?p.当p?p时，如图12-3中p?p2上，此时q供?q需，市场展现了供大于求，商品滞销，自然导致价格下跌，即p裁减，有p?p**?****?*. *总之，市场上的商品价格将趋向于均衡价格和均衡数量，即p和q.而两条曲线正是在此处相交，这意味着在平衡点处，一种数量为q的商品将被生产出来并以单价p销售 。

7．边际分析 一般地，若函数y?f(x)可导，那么导函数f'(x)也称为边际函数. **?yf(x0??x)?f(x0)称??x?x为f(x)在[x0,x0??x]上的平均变化率，它表示在[x0,x0??x]内f(x)的平均变化速度. f(x)在点x0处的变化率f'(x0)也称为f(x)在点x0处的边际函数值，它表示f(x)在点x0处的变化速度. 在点x0处，x从x0变更一个单位，y相应的变更值为?y个单位与x0值相比很小时，那么有?。