数学建模的基本方法和步骤.doc

数学建模的基本方法和步骤数学建模的基本方法建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性.建模的一般方法：机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型. 测试分析方法也叫做系统辩识.面对一个实际问题用哪一种方法，取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的.根据掌握的知识及其具有反映内在特征的物理意义，建模就应以机理分析为主.而如果对象内部规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特征，那么就可以用测试分析.对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来建模.机理分析当然要针对具体问题来做，不可能有统一的方法，因而主要是通过实例研究来学习.预测分析有一套完整的数学方法，以动态系统为主的预测分析称为系统辨识.数学建模的步骤建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质、建模目的等有关.下面介绍的是机理分析方法建模的一般过程，如下图图2.1所示。

图2.1数学建模的一般步骤第一步，模型准备. 了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息如现象、数据等，尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪一类模型.情况明才能方法对在模型准备阶段要深入调查研究，尽量掌握第一手资料.第二步，模型结构. 根据对象的特征和建模目的，抓住问题本质，忽略次要因素，作出必要的，合理的简化假设.对于建模的成败这是非常重要和困难的一步.假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会是你很难或者无法继续下一步的工作.常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷.通常，作出假设的依据.一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的综合.想象力、洞察力、判断力，以及经验，在模型假设中起着重要作用.第三步，模型构成. 根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图的模型等这里除了需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较为广阔的应用数学方面的知识.要善于发挥想象力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其它对象的共性，借用已有的模型.建模时还应遵循的一个原则是：尽量采用简单的数学工具，因为模型是希望更多的人了解和使用，而不是只供专家欣赏.第四步，模型求解. 可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术.第五步，模型分析. 对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的敏感性分析、对假设的强健性分析等.第六步，模型检验. 把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性.如果结果与实际不相符，问题常常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模.第七步，模型应用. 应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关.应该指出的是，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班，应当灵活运用.数学建模可以将其过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学建模，再从数学建模回到现实对象的循环，如下图2.2.图2.2 数学建模的全过程表述是将实现问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法.数学建模的求解则属于演绎法.归纳是依据个别现象推出的一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定的对象，导出结论.演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象作出科学预见具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只能在这个前提下保证其准确性.因此，归纳和演绎是辩证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导.解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或者控制的结果.最后，作为重要的一环，这些结果需要用实际的信息加以验证.从上表可以看出数学建模的结果经受住现实对象的验证是，才可以用来指导实际，完成实践—理论—实践这一循环.。