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数学史上的三次危机  无理数的发现──第一次数学危机(Di Yi Ci Shu Xue Wei Ji)[/b]　　        大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机　　        到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处　　        第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。

危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！　　         无穷小是零吗？──第二次数学危机(Di Re Ci Shu Xue Wei Ji)　　         18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的　　         1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx为逝去量的灵魂”无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论导致了数学史上的第二次数学危机。

　　       18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等　　         直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础　　         悖论的产生---第三次数学危机(Di San Ci Shu Xue Wei Ji)　　         数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑　　         1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。

两年后，康托发现了很相似的悖论1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念罗素悖论曾被以多种形式通俗化其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则　　        罗素悖论使整个数学大厦动摇了无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”于是终结了近12年的刻苦钻研　　        承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

 数学经典问题·蜂窝猜想加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称，经过1600年努力，数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者　　         四世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的他的这一猜想称为“蜂窝猜想”，但这一猜想一直没有人能证明　　         美密执安大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想蜂窝是一座十分精密的建筑工程蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大校而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小6面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好120度，形成一个完美的几何图形人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢？隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面呢？虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形　　        1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正多边形的周长是最小的。

1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正多边形的周长是最小的但如果多边形的边是曲线时，会发生什么情况呢？陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将19页的证明过程放在因特网上，许多专家都已看到了这一证明，认为黑尔的证明是正确的  数学经典问题·哥德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和如6＝3＋3，12＝5＋7等等　        　公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数Ъ遗防?Euler)，提出了以下的猜想:　　         (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和　         　(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和　　         这就是着名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立但严格的数学证明尚待数学家的努力　　        从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意200年过去了，没有人证明它哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（9 + 9）这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9＋9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

　　         目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理（Chen's Theorem）——“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1 + 2 ”的形式　　         在陈景润之前，关於偶数可表示为s 个质数的乘积与t 个质数的乘积之和（简称“s + t ”问题）之进展情况如下：　　1920年，挪威的布朗(Brun)证明了"9 + 9 "　　1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了"7 + 7 "　　1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了"6 + 6 "　　1937年，意大利的蕾西(Ricci)先後证明了"5 + 7 ", "4 + 9 ", "3 + 15 "和"2 + 366 "　　1938年，苏联的布赫夕太勃（亦译布赫斯塔勃）证明了"5 + 5 "　　1940年，苏联的布赫夕太勃证明了"4 + 4 "　　1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了"1 + c "，其中c 是一很大的自然数　　1956年，中国的王元证明了"3 + 4 "　　1957年，中国的王元先後证明了"3 + 3 "和"2 + 3 "。

　　1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了"1 + 5 "，中国的王元证明了"1 + 4 "　　1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了"1 + 3 "　　1966年，中国的陈景润证明了"1 + 2 "　　            最终会由谁攻克"1 + 1 "这个难题呢？现在还没法预测  数学经典问题·费马最后定理被公认执世界报纸牛耳地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是“在陈年数学困局中，终於有人呼叫‘我找到了’”时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马小传请参考附录）费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式xn + yn =zn的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两。