高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 对数与对数运算1备课资料素材 新人教A版必修1（通用）.doc

2.2.1 对数与对数运算备课资料1.对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550～1617年）男爵.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么，当时纳皮尔所发明的对数运算是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14…1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384…这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有64×256＝16384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了.回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗?计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点.所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣.伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749～1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.2.尤拉的自然对数底公式（大约等于2.71828的自然对数的底——e）尤拉被称为数学界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者，数学史上称十八世纪为“尤拉时代”.尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题.尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名.只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e.但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等.高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你.”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方.”这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情.相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知.有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数.而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a、b、c、d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数也都是它.。