2022年数学解题中的构造法思想.pdf

数学解题中的构造法思想数学科庞春英我们首先从下面例题的解法开始讨论：例：解方程组323232czccyxbzbbyxazaayx解法一： 直接按照三元一次方程组的消元法解题（略） 解法二： 把原方程组改写为000232323xcyzccxbyzbbxayzaa利用方程根的定义，我们把 a,b,c看成关于 t 的三次方程023xytztt的三个根根据韦达定理得：xabcyacbcabzcba,，因此原方程组的解为：cbazcabcabyabcx比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t 的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“023xytztt” 在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件” ，数学中的某些关系式为“支架” ，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题， 我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。

早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数npppp321,， 而构造一个新素数121nppp， 从而证明了原命题另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1 的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型， 从而使问题得以解决 构造法体现了数学发现的思想，因为解决问题同获得知识一样， 首先需要感知它， 要通过仔细地观察、 分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件； 构造法还体现了类比的思想， 为了找出解题的途径， 很自然地联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象； 构造法还体现了化归的思想，把一个个零散的发现由表及里， 由浅入深地集中和联系起来， 通过恰当的方法加名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 以处理化为已有的认识， 就自然形成了构造模型的方法。

除此之外， 构造法还渗透着猜想、试验、归纳等数学思想那么，如何构造呢？关于构造法解题可以概括如下：1、分析命题的条件与结论2、从命题的结构特征联想熟悉的数学问题或者考虑题目本身的意义，如几何意义，公式变形等3、构造新的数学模式（方程、函数、图形）4、研究新的数学模型的性质并求解5、然后将求解结论转化到原来的命题6、作出结论构造法的内涵十分丰富， 使用时不存在一个完全固定的模式可以套用，尽管如此，关于构造法的解题过程的模式还是可以用下列框图表示：通过创造通过推演思维实现实现转化（转化）构造法在数学领域内有着很普遍的应用，有些数学题目看似困难、繁琐，当搭起构造的“桥”后不仅迎刃而解，而且有时会因构思的奇巧而拍手叫绝，常有一种“柳暗花明又一村” 的感觉，因此构造法在许多数学问题的解题过程中显示出令人瞩目的特殊作用一、构造法在数学解题中的应用（一） 优化解题途径有些数学问题虽不用构造法也可以解，但求解过程繁琐，若用构造法，往往可简化复杂的运算和讨论，使问题简捷获解例：使抛物线012aaxy上总有关于直线L：0yx对称的两点，求a的范围析与解： 用辅助点法、参数法等方法求解都很繁琐，若利用L：0yx是第二、四象限角平分线这一特征，构造抛物线12axy关于直线 L 的对称曲线12ayx，则可简捷求解，假设对称点存在，那么当且仅当上述两抛物线有相异交点，由1122ayxaxy得)(yxyxayx，注意到0yx且0a，axy1代入12axy对题设条件特征分析方程函数构图形造数列复数等等所求的结 论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 得0112axax。

此方程应有两个不相等的实根，其充要条件为0)11(41aa，解之得：43a二）显露隐含条件运用构造思想分析题目的结构特征或数量关系，有助于挖掘含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决例：已知244xxxf，求100110001001210011fff析与解：将待求式看作一个整体， 其数字特征提示我们研究)1 (xfxf与之间的关系，从而发现隐含条件124244244244244244)1()(11xxxxxxxxxxfxf构造整体)10011000()10012()10011(fffS，亦有)10011()1001999()10011000(fffS将上述两式对应项相加得10002S500)10011000()10012()10011(fff（三） 沟通条件和结论的关系许多问题仅利用已知条件难于直接求解，需要按一定目标构造某种数学模型（如式、线、形、体等等）作为桥梁，沟通条件与结论之间的逻辑关系，才能求得结论例：设Rba,，并且方程01234axbxaxx至少有一个实数解，试求22ba的最小值解：设0 x是方程的一个实根，则00 x代入方程可得01200020 xxabaxx，构造直线和圆（ba,作变量） ，011202000 xxbaxx，222Rba，依题意直线和圆必有公共点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 因此，圆心到直线的距离小于（或等于）半径，从而有Rxxxx1112002020即2202022020311Rxxxx，454321131112202020202xxxxR，时等号成立，即，当且仅当1154020202xxxR，并代入方程得542222baba和542222baab，解之即可知，当52,54ba时，5422最小ba。

四） 促进数学相关知识的转化解综合题时， 经常用到的构造图形解代数题，构造方程解几何题， 构造函数求线段长或几何图形的最大值、 最小值等方法， 都能促进数学相关知识的相互转化例：设cbdadcba且0求证cbda证明： 利用条件cbda构造如图的两个ADCRtABCRt与使它们的斜边重合记dABcADbDCaBC,DACBACrAC,，则450，452rSinCosSinrda，452rSinCosSinrcb，9045450，4545SinSin，cbda五） 加强数学思想的运用ADBCADBC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 诸如构造函数、构造方程、构造图形、构造整体、逆向构造等等，分别是函数思想、方程思想、数形结合、整体思想、逆向思维等数学思想的体现，可见，运用构造思想能强化基本数学思想方法的运用例：求函数321)(2xxxf的值域解：构造函数3212xy通过平方变形为方程)0(1312122yyx，此方程表示：中心在原点的椭圆的上半部分，并与 x 轴交于0220 ,22，BA两点，设byx它表示斜率为 1 的动直线，显然，当它过第一象限与曲线相切时，b 取得最大值，当它过A 点时， b 取得最小值，由13222yxbyx得0136522bbxx，由01354622bb，得),65(65舍bb，将点），（022A坐标代入byx得22b，函数3212xxxf的值域为65,22。

综上所述，构造法不仅可以拓宽思路，创设出新的情境，提高分析问题和解决问题的能力， 而且还能丰富我们的想象力，优化整体意识和创造思维 不仅如此，构造法内涵丰富、形式多样，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法因此，我们还是可以从所构造的对象进行分类，使特点更为突出， 规律更为明显二、从所构造的对象不同进行分类（一） 构造命题1、构造等价（或接近）命题如果遇到的数学问题直接证明（或求解）较困难时，可以构造其等价（或接近）命题，并通过证明其等价（或接近）命题成立，从而使原命题成立例：求证：面积等于 1 的三角形不能被面积小于2 的平行四边形所覆盖分析： 我们将命题译成数学语言： “若2,1ABCDPQRSS，则PQR不在四名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 边形 ABCD 内部此题若直接证明， 不易找出它的证题思路， 若转化为它的等价命题， 问题就简化了其等价命题是：若PQR在四边形 ABCD 内部，则ABCDPQRSS21。

证明： 如图，只要过 P作 MNAB，ABMNABMNPQEPQEhMNShPES,21，ABMNPQEhh，ABMNPQESS21，同理DCMNPRESS21，所以等价命题得证，从而原命题得证2、构造辅助命题在解答数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么，我们可以证明了辅助命题是真命题，原命题就迎刃而解了例：正数a为何值时，函数xxay632的最大值为210？分析： 在中学数学中，没有定理可以直接对例题作出回答，我们注意到在已知函数式中，有06, 02, 03,0 xxa，且86222xx（定值） ，于是构造一个辅助问题：设ba,都是正数，变量0,0 vu且mvu22（定值） ，求函数bvauy的最大值解：将式两边平方可得22222222avbumbaavbuvubay，显然，当0avbu时，2y取最大值为mbay22max2，注意到0y这时，y取最大值为mbay22max，由此可得辅助命题：设ba,都是正数，变量mvuvu220,0且（定值） ，则函数bvauy的最大值为mbay22max，根据辅助命题，只需令8, 3,210maxmby代入，解得4a，这就是例题的解二） 构造数学关系有些问题可由题设给的数量关系，构造一种新的函数、方程和辅助式等具体ADBCQPRMNEMNPE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学关系，使问题在新的关系下实现转化，这样的方法称为构造数学关系法。

1、构造方程一般说来，利用辅助方程法的关键就是构造辅助方程，通常有这几种构造方法：（1）将条件等式或变形后的条件等式中的一个或几个数（或字母） 看成未知数，使等式变成方程（组） 例 ： 设cba,为 正 数 ， 其 中 至 少 有 一 个 不 等 于1 ， 且1yxzxzyzyxcbacbacba，求证：0zyx或zyx析与解： 由条件1yxzxzyzyxcbacbacba转化为对数式得0lglglg0lglglg0lglglgcybxazcxbzayczbyax把上式看成关于cbalg,lg,lg的齐次线性方程组，则方程组必有非零解故0yxzxzyzyx，即0222xzzyyxzyx，0zyx或zyx2） 设置参数构造方程， 这是对于代数中有些求值、 化简或证明类型的问题常用的构造方法例：化简335252析与解： 这是化简问题，设y335252，显然问题变成求 y ，。