导数的11个专题.pdf

1 243 目录目录 导数专题一 单调性问题导数专题一 单调性问题 2 导数专题二 极值问题导数专题二 极值问题 38 导数专题三 最值问题导数专题三 最值问题 53 导数专题四 零点问题导数专题四 零点问题 77 导数专题五 恒成立问题和存在性问题导数专题五 恒成立问题和存在性问题 118 导数专题六 渐近线和间断点问题导数专题六 渐近线和间断点问题 170 导数专题七 特殊值法判定超越函数的零点问题导数专题七 特殊值法判定超越函数的零点问题 190 导数专题八 避免分类讨论的参变分离和变换主元导数专题八 避免分类讨论的参变分离和变换主元 201 导数专题九 公切线解决导数中零点问题导数专题九 公切线解决导数中零点问题 214 导数专题十 极值点偏移问题导数专题十 极值点偏移问题 219 导数专题十一 构造函数解决导数问题导数专题十一 构造函数解决导数问题 227 公众号 高中数学资料分享 2 243 导数专题一 单调性问题导数专题一 单调性问题 知识结构 知识结构 知识点 知识点 一 导函数代数意义 利用导函数的正负来判断原函数单调性 二 分类讨论求函数单调性 含参函数的单调性问题的求解 难点是如何对参数进行分类讨 论 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系 三 分类讨论的思路步骤 第一步 求函数的定义域 求导 并求导函数零点 第二步 以导函数的零点存在性进行讨论 当导函数存在多个零点的时 讨论他们的大小关 系及与区间的位置关系 分类讨论 第三步 画出导函数的同号函数的草图 从而判断其导函数的符号 画导图 标正负 截定 义域 第四步 列表 根据第五步的草图列出 fx f x随x变化的情况表 并写出函数的 单调区间 第五步 综合上述讨论的情形 完整地写出函数的单调区间 写出极值点 极值与区间端点 函数值比较得到函数的最值 四 分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性 主要讨论点 1 最高次项系数是否为 0 2 导函数是否有极值点 3 两根的大小关系 4 根与定义域端点讨论等 五 求解函数单调性问题的思路 1 已知函数在区间上单调递增或单调递减 转化为 0fx 或 0fx 恒成立 2 已知区间上不单调 转化为导函数在区间上存在变号零点 通常利用分离变量法求解 参变量的范围 3 已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间 转化为导函数在区间上大于零或小 于零有解 六 原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 1 参变分离 2 导函数的根与区间端点直接比较 3 243 3 导函数主要部分为一元二次时 转化为二次函数根的分布问题 这里讨论的以一元二次 为主 七 求解函数单调性问题方法提炼 1 将函数 f x单调增 减 转化为导函数 0fx 恒成立 2 fxg x h x 由 0g x 或 0g x 可将 0fx 恒成立转化为 0h x 或 0h x 恒成立 3 由 分离参数法 或 分类讨论 解得参数取值范围 4 243 考点分类 考点分类 考点一 分类讨论求解函数单调性 考点一 分类讨论求解函数单调性 例 1 1 2015 2016 朝阳一模理 18 已知函数 f x ln xax a R 求函数 f x的单调区间 当 1 2x 时 都有 0f x 成立 求a的取值范围 试问过点 13 P 可作多少条直线与曲线 yf x 相切 并说明理由 答案 函数 f x的定义域为 0 x x 1 axa fx xx 1 当0a 时 0fx 恒成立 函数 f x在 0 上单调递增 2 当0a 时 令 0fx 得xa 当0 xa 时 0fx 函数 f x为减函数 当xa 时 0fx 函数 f x为增函数 综上所述 当0a 时 函数 f x的单调递增区间为 0 当0a 时 函数 f x的单调递减区间为 0 a 单调递增区间为 a 由 可知 1 当1a 时 即1a 时 函数 f x在区间 1 2上为增函数 所以在区间 1 2上 min 1 1f xf 显然函数 f x在区间 1 2上恒大于零 2 当12a 时 即21a 时 函数 f x在 1a 上为减函数 在 2a 上 为增函数 所以 min ln f xfaaaa 依题意有 min ln 0f xaaa 解得ea 所以21a 3 当2a 时 即2a 时 f x在区间 1 2上为减函数 所以 min 2 2 ln2f xfa 依题意有 min 2 ln20f xa 解得 2 ln2 a 所以 2 2 ln2 a 5 243 综上所述 当 2 ln2 a 时 函数 f x在区间 1 2上恒大于零 设切点为 000 ln x xax 则切线斜率 0 1 a k x 切线方程为 000 0 ln 1 a yxaxxx x 因为切线过点 1 3 P 则 000 0 3 ln 1 1 a xaxx x 即 0 0 1 ln1 20ax x 令 1 ln1 2g xax x 0 x 则 22 11 1 a x g xa xxx 1 当0a 时 在区间 0 1 上 0g x g x单调递增 在区间 1 上 0g x g x单调递减 所以函数 g x的最大值为 1 20g 故方程 0g x 无解 即不存在 0 x满足 式 因此当0a 时 切线的条数为0 2 当0a 时 在区间 0 1 上 0g x g x单调递减 在区间 1 上 0g x g x单调递增 所以函数 g x的最小值为 1 20g 取 2 1 1 ee a x 则 22 11 1 2 1e1 2e0 aa g xaa a 故 g x在 1 上存在唯一零点 取 2 1 2 1 e1 e 所以11ek 时 符合题意 综上所述 11ek 17 243 练 1 7 2015 2016 朝阳一模文 19 已知函数 ex kx f x kx k R 若1 k 求曲线 yf x 在点 0 0 f 处的切线方程 求函数 f x的单调区间 设0k 若函数 f x在区间 3 2 2上存在极值点 求k的取值范围 答案 若1k 函数 f x的定义域为 1x x 2 2 e 3 1 x x fx x 则曲线 yf x 在点 0 0 f 处切线的斜率为 0 3 f 而 0 1f 则曲线 yf x 在点 0 0 f 处切线的方程为31yx 函数 f x的定义域为 x xk 22 2 e 2 x kkx fx kx 1 当0k 时 由xk 且此时 2 2kkk 可得 22 22kkkkk 令 0fx 解得 2 2xkk 或 2 2xkk 函数 f x为减函数 令 0fx 解得 22 22kkxkk 但xk 所以当 2 2kkxk 2 2kxkk 时 函数 f x也为增函数 所以函数 f x的单调减区间为 2 2 kk 2 2 kk 单调增区间为 2 2 kkk 2 2 kkk 2 当0k 时 函数 f x的单调减区间为 0 0 当2k 时 函数 f x的单调减区间为2 2 当20k 时 由 2 20kk 所以函数 f x的单调减区间为k k 即当20k 时 函数 f x的单调减区间为k k 3 当2k 时 此时 2 2kkk 令 0fx 解得 2 2xkk 或 2 2xkk 但xk 所以当xk 2 2kxkk 2 2xkk 时 函数 f x为减函数 18 243 令 0fx 解得 22 22kkxkk 函数 f x为增函数 所以函数 f x的单调减区间为k 2 2kkk 2 2 kk 函数 f x的单调增区间为 22 2 2 kkkk 9 分 1 当20k 时 由 问可知 函数 f x在 3 2 2 上为减函数 所以不存在极值点 2 当2k 时 由 可知 f x在 22 2 2 kkkk 上为增函数 在 2 2 kk 上为减函数 若函数 f x在区间 3 2 2 上存在极值点 则 2 322 2kk 解得43k 或12k 所以43k 综上所述 当43k 时 函数 f x在区间 3 2 2上存在极值点 练 1 8 2015 2016 东城期末理 19 已知函数 e ln x f xa xx x 当1a 时 试求 f x在 1 1 f处的切线方程 当0a 时 试求 f x的单调区间 若 f x在 0 1 内有极值 试求a的取值范围 答案 当1a 时 2 e 1 1 1 x x fx xx 1 0f 1 e1f 方程为e1y 2 e 1 1 1 x x fxa xx 2 e 1 1 x xax x x 2 e 1 x axx x 当0a 时 对于 0 x e0 x ax 恒成立 所以 0fx 1x 0fx 01x 0 所以 单调增区间为 1 单调减区间为 0 1 若 f x在 0 1 内有极值 则 fx在 0 1 x 内有解 令 2 e 1 0 x axx fx x e0 x ax ex a x 设 e x g x x 0 1 x 所以 e 1 x x g x x 当 0 1 x 时 0g x 恒成立 所以 g x单调递减 19 243 又因为 1 eg 又当0 x 时 g x 即 g x在 0 1 x 上的值域为 e 所以当ea 时 2 e 1 0 x axx fx x 有解 设 e x H xax 则 e0 x H xa 0 1 x 所以 H x在 0 1 x 单调递减 因为 0 10H 1 e0Ha 所以 e x H xax 在 0 1 x 有唯一解 0 x 所以有 x 0 0 x 0 x 0 1 x H x 0 fx 0 f x递减极小值递增 所以 当ea 时 f x在 0 1 内有极值且唯一 当ea 时 当 0 1 x 时 0fx 恒成立 f x单调递增 不成立 综上 a的取值范围为 e 练 1 9 2015 2016 大兴期末理 18 已知函数 2 22 a f xaxa x 0 a 当1a 时 求函数 f x在点 2 2 f处的切线方程 求函数 f x的单调区间 若 2lnf xx 在 1 上恒成立 求a的取值范围 答案 1 当1 a时 1 f xx x 2 1 1fx x 3 2 2 f 5 2 4 f 所以 函数 f x在点 2 2 f处的切线方程为 35 2 24 yx 即 5440 xy 函数的定义域为 0 x x 2 22 2 2 0 aaxa fxaa xx 当02 a时 0 fx恒成立 所以 f x在 0 和 0 上单调递增 当2 a时 令 0 fx 即 2 20 axa 12 22 aa xx aa 0 fx 21 或 xxxx 0 fx 12 00或 xxxx 20 243 所以 f x单调递增区间为 22 和 aa aa 单调减区间为 22 0 和 0 aa aa 因为 2ln f xx在 1 上恒成立 有 2 222ln0 0 a axaxa x 在 1 上恒成立 所以 令 2 222ln a g xaxax x 则 2 222 2222 1 2 aaxxaxaxa g xa xxxx 令 0 g x则 12 2 1 a xx a 若 2 1 a a 即1 a时 0 g x 函数 g x在 1 上单调递增 又 1 0 g 所以 2ln f xx在 1 上恒成立 若 2 1 a a 即1 a时 当 2 0 1 a x a 时 0 g xg x单调递增 当 2 1 a x a 时 0 g x g x单调递减 所以 g x在 1 上的最小值为 2 a g a 因为 1 0 g所以 2 0 a g a 不合题意 2 1 a a 即1 a时 当 2 0 1 a x a 时 0 g xg x单调递增 当 2 1 a x a 时 0 g xg x单调递减 所以 g x在 1 上的最小值为 1 g 又因为 1 0 g 所以 2ln f xx恒成立 综上知 a的取值范围是 1 21 243 考点二 考点二 已知函数单调求参数范围 已知函数单调求参数范围 例 2 1 2015 2016 石景山期末文 20 已知函数 mxxgx m xxf 3 1 2 1 3 1 23 Rm 若 xf在1 x处取得极小值 求m的值 若 xf在区间 2为增函数。