2024届山东阳谷县第五中学高三下学期期末考试数学试题（理A卷）.doc

2024届山东阳谷县第五中学高三下学期期末考试数学试题（理，A卷）注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A． B． C． D．2．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）A．或 B． C． D．或3．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（　　）A．该市总有 15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户4．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（ ）A．1 B．2 C．-1 D．-25．已知向量，夹角为，， ，则( )A．2 B．4 C． D．6．已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）A． B． C． D．7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）附：若，则，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95448．已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．9．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A． B． C． D．10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．411．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ）A． B． C． D．12．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A．180 B．90 C．45 D．360二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的定义域为__________．14．在中，、的坐标分别为，，且满足，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________.15．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____16．已知向量，，满足，，，则的取值范围为_________.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，平面四边形中，，是上的一点，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝1．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．20．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立．21．（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.22．（10分）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【题目详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【题目点拨】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．2、D【解题分析】根据正弦定理得到，化简得到答案.【题目详解】由，得，∴，∴或，∴或．故选：【题目点拨】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.3、D【解题分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【题目详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D.【题目点拨】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.4、D【解题分析】由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.【题目详解】因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.【题目点拨】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.5、A【解题分析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【题目详解】由于，故选：A.【题目点拨】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.6、B【解题分析】可判断函数在上单调递增，且，所以.【题目详解】在上单调递增，且，所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.7、C【解题分析】根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【题目详解】由题意，，，则，，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【题目点拨】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.8、C【解题分析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.【题目详解】当时，则，，所以，，显然当时，，故，，若对于任意正整数不等式恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任意正整数恒成立，设，，令，解得，令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，当时，有单调递减，故数列的最大值为，所以.故选：C.【题目点拨】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.9、B【解题分析】根据焦距即可求得参数，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【题目详解】因为双曲线的焦距为，故可得，解得，不妨取；又焦点，其中一条渐近线为，由点到直线的距离公式即可求的.故选：B.【题目点拨】本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.10、C【解题分析】试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得，故输入的实数值的个数为1．考点：程序框图．11、B【解题分析】设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.【题目详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，，，，，，，，可得，，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，.故选：B.【题目点拨】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12、A【解题分析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【解题分析】根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.【题目详解】解:要使函数有意义,则 ,即.则定义域为: .故答案为: 【题目点拨】本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.14、【解题分析】由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围.【题目详解】解：由正弦定理得，则点在曲线上，设，则，，又，，因为，则，即的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.15、【解题分析】双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率．【题目详解】解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，一条渐近线的斜率为1，即，，，故答案为：．【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16、【解题分析】设，，，，由，，，根据平面向量模的几何意义，可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，为的距离，利用数形结合求解.【题目详解】设，，，，如图所示：因为，，，所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，则即的距离，由图可知，.故答案为：【题目点拨】本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（1）见解析；（2）【解题分析】（1）要证平面平面，只需证平面，而，所以只需证，而由已知的数据可证得为等边三角形，又由于是的中点，所以，从而可证得结论；（2）由于在中，，而平面平面，所以点在平面的投影恰好为的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【题目详解】（1）由，所以平面四边形为直角梯形，设，因为.所以在中，，则，又，所以，由，所以为等边三角形，又是的中点，所以，又平面，则有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中点，所以，由（1）可知平面平面，平面平。