位似图形教学设计.doc

24.5 位似图形学习目标要求1、掌握位似形与位似变换的概念2、理解位似与相似之间的关系，并利用相似形的性质解决位似形的问题3、会按照要求画出位似形4、了解图形在坐标系中的位似变换教材内容点拨知识点1位似三角形与为似多边形：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心同样，如果两个多边形不仅是相似多边形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么两个多边形叫做位似多边形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心利用多边形的位似可以将一个三角形或多边形缩小或放大知识点2位似变换与位似图形：若两个几何图形F与F’相似，而且对应点连线交于同一点O，则称F与F’关于点O位似，O叫做位似中心 把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换知识点3位似多边形的画法：1、连接位似中心与多边形各顶点；2、延长各连线，使得延长线与连线之比为位似比；3、按顺序连接所得各点典型例题点拨例1、如图所示的是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是40厘米，幻灯片到屏幕的距离是2米，幻灯片中的图象的高度是10厘米，请你算出屏幕上的图象的高度是多少？点拨：利用位似形的性质可得比例式，从而求得CD的长。

解答：∵幻灯片上图像与屏幕上的投影成位似形，∴ ，∵ ，∴ ，解得 例2、在如图的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和△ABC，请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向），得到△A′B′C′点拨：按照位似图形的画法画出△A′B′C′，注意“不改变方向”解答：例3、如图，画一个三角形，使它与已知 相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2：1点拨：全面利用所学知识解题，注意方法的多样性，尝试从不同角度考虑解答：解答一、如图1（位似图形法）任取一点O；连结OA、OB、OC；取OA、OB、OC的中点 ，连结 得 ， 即为所求解答二、如图2（平行截取法）取AB中点D，过D作 交AC于E， 即为所求解答三、如图3（反向延长法）延长AC到 ，使 ，延长BC到 ，使 ， 就是所求的三角形解答四、如图4（平行线法）作线段 ，使 ，且 ，过 作BA的平行线 ，过 作CA的平行线与 交于 ，则 即为所求解答五、如图5（格点法）作法略解答六、（度量法）用刻度尺量出BC的长，取其 为线段 画出；量出 的大小，在 同侧作 ，两角的另一边相交于 ， 即为所求例3、一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，如图所示，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？点拨：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答；位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质。

解答： m 考点考题点拨1、中考导航位似形是现在新出现的内容，在近几年的中考中考察不是很多，而且考察内容相对比较简单，主要是位似形的概念的考察，而且通常与相似形相结合，要注意这两部分内容之间的联系2、经典考题追踪1、（06福建南平）如图，已知△ABC的三个顶点坐标如下表：（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出△ ；（ ， ） （ ， ）A （2，1） （ 4 ，2 ）B （4，3） （ ， ）C （5，1） （ ， ）（2）观察△ABC与△ ，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论解答：（1）表中数据及图形如下所示：（ ， ） （ ， ）B （4，3） （ 8 ，6 ）C （5，1） （10 ，2 ）（2）△ABC∽△ 、周长比、相似比、位似比相等例2、（06淮安）如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标解答：（1）（2）B′（－6，2）、C′（－4，－2）（3）M′（－2x，－2y）易错点点拨易错点、考虑问题不全面。

易错点导析：在解决问题时要注意问题中要注意位似中心可位于两个位似图形的中间或一边例、三角形的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,试将△ABC以O点为位似中心缩小,使缩小后的△DEF与△ABC对应边比为1∶2错解：将A（2,2），B（4,2），C（6,4）三点的横坐标、纵坐标都缩小为原来的 得D（1，1）， E（2，1），F（3，2）后，顺次连结D，E，F，D，即可得到缩小后的△DEF，如图所示错解点拨：没有注意到题目中的以O点为位似中心这个要求，混淆了相似形与位似形的概念正解拓展与创新1、如图24-5-7中的“A”字形图形是由O、A、B、C、D用线段顺次连接而成的，现将“A”的点的横坐标、纵坐标都扩大2倍，得到另一个“A”字形图形，按下列的坐标，画出图形解答：2、如图24-5-6，在水平桌面上的两个“Ｅ”，当点 ， ， 在一条直线上时，在点 处用①号“Ｅ”测得的视力与用②号“Ｅ”测得的视力相同．（1）图中 ， ， ， 满足怎样的关系式？（2）若 cm， cm，①号“E”的测试距离 m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离 应为多少？解答：（1） ， △ △ ， ，即 。

2） 且 cm， cm， m， 注：可不进行单位换算） m 3、如图24-5-9（a），AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AD，BC相交于E，过E作EF⊥BD，则可以得到 ,若将图24-5-9（a）中的垂直改为斜交，如图24-5-9（b），AB∥CD，AD，BC相交于E，，过E作EF∥AB交BD于F，试问：（1） 还成立吗？请说明理由（2）试找出 、 、 间的关系式，并说明理由解答：（1） + = 还能成立由EF∥AB∥CD，故△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，故 ＝ ①, ＝ ②, ①＋②得 ＋ ＝ ＋ ＝1，故 + ＝ ；（2）过A,E,C分别作BD垂线，垂足为B′,F′,D′,故S△ABD＝ BD×AA′，S△BED＝ BD×EE′，S△BCD＝ BD×CC′，所以 ＝ , ＝ ，又由前面结论可知， ＋ ＝1，从而 ＋ ＝学习方法点拨要加深对位似形和位似变换概念的理解，运用类比推理的方法，研究位似形和位似变换认识到位似形是一种特殊的相似形，位似变换和以前学过的轴对称变换及中心对称变换类似，有关位似形的内容，要与相似形相结合，位似形问题的解决，往往要转换成相似形的问题。

随堂演练1、判断正误：如果四边形 与四边形 是位似图形，且位似比为 ，那么（1） ；（ ）（2） ∽ ；（ ）（3） ；（ ）（4） ）2、（1）△ABC与△ 是位似图形，则AB与 的位置关系是¬¬____________2）如果五边形ABCDE与五边形 是位似图形，位似比为2∶5，那么五边形ABCDE的周长∶五边形 的周长＝_____________3、如图，点O是等边△PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′O′Q′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（　　）A．2、点P B． 、点P C．2、点O D． 、点O4、（2007、宁安模拟）用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（ ） A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 5、（2007、汕头模拟）下列说法中不正确的是（ ） A．位似图形一定是相似图形； B．相似图形不一定是位似图形； C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行。

6、如图是小孔成像原理的示意图，你能根据图中所标的尺寸求出在暗盒中所成像的高度吗？说说其中的道理7、要作一个多边形与已知多边形相似，而且周长是原来的3倍，对应边应当怎样取？要使周长缩小到原来的 呢？要使面积扩大为原来的9倍呢？8、如图，把四边形ABCD以O为位似中心，沿OA方向放大2倍，（即位似比为2）9、(1)请在如图所示的方格纸中，将△ABC向上平移3格，再向右平移6格，得△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°，得△A2B1C2，最后将△A2B1C2以点C2为位似中心放大到2倍，得△A3B3C2；(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度)，在你所建立的直角坐标系中，点C、C1、C2的坐标分别为：点C( )、点C1( )、点C2( )10、在直角坐标系中连接坐标为整数的若干个点组成一个多边形，把多边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘以2，得到一个新的多边形；以坐标原点为位似中心将原多边形放大，使放大后的多边形是原多边形对应边的2倍，比较两种方法放大后的两个新多边形,你能得到什么结论？11、如图， OAB与 ODC是位似图形，试问:（1）AB与CD平行吗？请说明理由。

2）如果OB＝3,OC＝4,OD＝3.5，试求 OAB与 ODC的位似比及OA的长？12、在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移使得点A移至图中的点A′的位置1）计算：对应点的横坐标的差： ， ， ；对应点的纵坐标的差： ， ， 2）从（1）的计算中，你发现了什么规律？请你把发现的规律用文字表述出来3）根据上述规律，若将△ABC平移使得点A移至A″（2，－2），那么相应的点B″、C″（其中B″、C″分别是B、C的对应点）的坐标分别是 13、如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连结OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于C′，作E′D′∥ED，，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．14、（2006，河北省）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）；（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM。

随堂演练答案1、（1）√ （2）√ （3）√ （4）×，应为 2、（1）平行；（2）2∶53、D4、D5、D6、3cm∵ ∽ 7、对应边为原来的3倍；对应边为原来的 ；对应边为原来的3倍8、作法 （1）连结OA，并延长AO到 ，使 ，如图2）连结OB、OC、OD，并延长BO到 ，延长CO到 ，延长DO到 ，使 3）连结 ，则。