截长补短法例题.docx

截长补短法例1. 已知，如图1-1 ,在四边形 ABC中, BC>AB, AD=DC BAF分/ ABC求证：/ BAD +/ BCB180分析：因为平角等于180因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D作DE垂直BA的延长线于点 E,彳DFL BC于点F,如图1-2・ B叶分/ ABC DE=DF在 RtMDEW RtACDF^,DE DFAD CDRtAADIE^ Rt^CDFH •/ DA巨/ DCF又/ BAB/DAE=180 , . •/ BAB/ DCE180即/ BAD/ BCB180例2. 已知，如图3-1 , /1 = /2, P为BN上一点，且 PDL BC于点D, AaBG2BD求证：/ BAR/BCR180 .分析：与例1相类似，证两个角的和是 180° ,可把它们移到一起，让它们是邻补角, 即证明/ BCR/EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造 ^证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点 E,如图3-2・ • / 1 = 7 2,且 PD£ BC PE=PD在 RtA BPE与 RtA BPD43,PE PDBP BPRtABPE^ Rt^BPDH。

B&BD图3-2DC•. ABfBC=2BD . . ABB[>D(=BaBE . . ADDCBE即 D(=BEAB=AE在 Rt^APE与 RtA CPD^,PE PDPEA PDCAE DCRtAAPE^RtACPI^SAS), ••/ PAEZ PCD又•「/ BAF+Z PAE180 ，，/ BAR/BCP=180例3. 如图2-1 , AD// BC点E段 AB上，/ AD巨/ CDE / DC巨/ ECB求证：CD=A»BC分析：结论是CD=AC+BC可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD±截取CF=CB 只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的 .证明：在CD上截取CF=BC如图2-2在△ FCE^ △ BC印，CF CBFCE BCECE CE・ .△FCE^ △ BCE (SAS ,，/2=/1.又. AD/ BQ /ADG/BCB180 , • . / DCEZ CDE90 ,，/2+/3=90° , / 1 + 74=90° , / 3=/4.在△ FDE^ AAD计，FDE ADEDE DE3 4・ .△FDE^ △ ADE (ASA ， DF=DACD=DF+CF, CDAOBC例4. 已知：如图 4-1 ,在△ ABC43, / C= 2/ B, Z 1 = 72.求证：AB=AGCD分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即 延长AC至E使CE=CD或在AB上截取AF=AC证明：方法一（补短法）延长AC到E,使DGCE则/ CDE= / CED如图4-2・ ./ ACB= 2/ E,• / ACB= 2/ B, / B= / E,在△ ABDW△ AE计,1 2B EAD AD. .△AB坐△ AED（AAS ,，AB=AE又 AEAC+CEAGDC AB=AODC方法二（截长法）在AB上截取 AF=AC如图4-3在△ AFD^△ AC加,AF AC1 2AD AD图4-1图4-3. .△AF单△ACDCSAS , . . DF=DC / AF氏 / ACD又. / ACB= 2/B, / FDB= / B, .. FD=FB•. AB=AF+FB=AGFD, . .ADAGCD。