2024-2025学年湖北省恩施州高一（下）期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年湖北省恩施州高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.若α=3rad，则α的终边位于平面直角坐标系第几象限(    )A. 一 B. 二 C. 三 D. 四2.设a,b为非零向量，若(a+b)⋅(a−b)=0，则(    )A. a=−b B. a=b C. a⋅b=0 D. |a|=|b|3.已知函数f(x)=cos(x+θ)，θ∈(−π,π)，若函数f(x)在x=π4处取得最小值，则θ=(    )A. −34π B. −π4 C. π4 D. 34π4.学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多8人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有3人来自“检录组”，4人来自“计分组”，1人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为(    )A. 16 B. 12 C. 8 D. 45.△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则BE=(    )A. −34AB+14AC B. 34AB−14AC C. 54AB−14AC D. −54AB+14AC6.△ABC中，cosA=13,O为△ABC的外心，则sin∠OBC=(    )A. 2 23 B. 23 C. 13 D. 667.正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E是AB的中点，则点A到平面EB1D的距离为(    )A. 66 B. 64 C. 63 D. 628.锐角△ABC的内角A，B，C满足sinC−sinB=2sinBcosA，则sinBsinC的取值范围为(    )A. (0,12) B. (13,1) C. (0,1) D. (12,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.若复数z满足(z−+1)i=zz−−1，则z的虚部为(    )A. −2 B. −1 C. 0 D. 110.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(    )A. f(x)=cos(2x−π3)B. 点(−11π12,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心C. 函数g(x)=sin(x+π6)图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到函数f(x)的图象D. 函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得到的图象关于y轴对称11.已知函数f(x)=esinx−e−sinx，则下列说法正确的是(    )A. f(x+π2)是偶函数 B. f(x+π)=−f(x)C. 函数f(f(x))在(0,π)内有零点 D. 方程f(x)=83无解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知1+sin2α2cos2α+sin2α=1，则tan2α= ______．13.已知非零向量a=(m,0)，b=(1,1)，若b−a与b的夹角为π4，则m= ______．14.记一个长方形的长为a，宽为b，a>b且a，b∈N∗.若a+b=ab4−1，则该长方形周长的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知函数f(x)=sin(x+π4)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤cos(x+π4)+m对x∈R恒成立，求m的取值范围．16.(本小题15分)如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=1，AC=2，过点A作PB、PC的垂线，垂足分别为E、F．(1)求证：AE⊥平面PBC；(2)求PA与平面AEF所成角的正切值．17.(本小题15分)某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长(单位：小时)的调研，现随机抽取40名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)若将平均每周球类运动时长大于或等于10小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有1200名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数；(2)若小明的平均每周球类运动时长为10.5小时，试估计其是否超过该年级80%的学生；(3)若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为8−m，m+3，3m+1，当其方差s2最小时，求m的值．18.(本小题17分)已知△ABC的内角A,B,C,m=( 2sinA+B2,cosA−B2),|m|= 62．(1)求tanAtanB的值；(2)求C的取值范围；(3)若M是边AB上的一点，当∠ACB最大时，MC=(−1, 3)，求AC的长．19.(本小题17分)如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=BC=AD=2．(1)若∠BAD=π3,AB=CD，记三棱锥P−ABC外接球的球心为O．(i)求证：OD//平面PAB；(ii)求三棱锥P−ABC外接球的表面积．(2)记∠BAD=θ,θ∈(0,π2)，当∠ABC=π2+θ时，求三棱锥P−BCD体积的最大值．参考答案1.B 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.C 8.D 9.CD 10.ACD 11.ABD 12.1 13.1 14.34 15.(1)因为函数f(x)=sin(x+π4)，由π2+2kπ≤x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π4+2kπ≤x≤5π4+2kπ,k∈Z；所以函数f(x)的单调递减区间为[π4+2kπ,5π4+2kπ],k∈Z；由−π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，解得−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ,k∈Z．所以函数f(x)的单调递增区间为[−3π4+2kπ,π4+2kπ],k∈Z．综上，函数f(x)的单调递减区间为[π4+2kπ,5π4+2kπ],k∈Z；单调递增区间为[−3π4+2kπ,π4+2kπ],k∈Z．(2)f(x)≤cos(x+π4)+m，即sin(x+π4)−cos(x+π4)≤m，即 2sinx≤m．因为sinx∈[−1,1]，所以 2sinx∈[− 2, 2]．故m≥ 2，所以实数m的取值范围为：[ 2,+∞)．16.(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA．又因为BC⊥AB，PA，AB⊂平面PAB，且PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，又因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，PB，BC⊂平面PBC，且PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．(2)由(1)得，AE⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC又因为AF⊥PC，AE，AF⊂平面AEF，且AE∩AF=A，所以PC⊥平面AEF，所以PA在平面AEF内的射影为AF，所以PA在平面AEF成角为∠PAF，又AF⊥PF，根据△PAC面积可得，PA×AC×12=AF×PC×12，即1×2×12= 5×AF×12，解得AF=2 55，所以在Rt△AFP中，根据勾股定理可得PF= 55，故tan∠PAF=PFAF=12，所以PA与平面AEF所成角的正切值为12． 17.(1)由频率分布直方图，可得(0.025+0.0625+0.1125+0.15+a+0.05)×2=1，解得a=0.1． 平均每周球类运动时长大于或等于10小时的人数为(0.1+0.05)×2×40=12．估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数为1200×1240=360．(2)由题意，需要确定平均每周球类运动时长的80%分位数，因为(0.025+0.0625+0.1+0.1125+0.15)×2=0.7<0.8，0.7+0.1×2=0.9>0.8，故80%分位数位于[10,12)内． 所以10+2×0.8−0.70.9−0.7=11，所以80%分位数为11． 因为10.5<11，所以没有超过该年级80%的学生．(3)由题意，甲，乙，丙三位同学球类运动时长平均数为x−=8−m+m+3+3m+13=4+m．s2=(8−m−x−)2+(m+3−x−)2+(3m+1−x−)23=(4−2m)2+(2m−3)2+13=8m2−28m+263=8(m−74)2+323，所以当m=74时，s2最小．  18.解(1)因为△ABC的内角A,B,C,m=( 2sinA+B2,cosA−B2),|m|= 62，所以m2=|m|2=32，即( 2sinA+B2)2+(cosA−B2)2=32，即2sin2A+B2+cos2A−B2=1−cos(A+B)+1+cos(A−B)2=32，整理可得2cos(A+B)=cos(A−B)，则2(cosAcosB−sinAsinB)=cosAcosB+sinAsinB，即cosAcosB=3sinAsinB．化简整理可得“tanAtanB=sinAsinBcosAcosB=13；(2)在△ABC中，tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−32(tanA+tanB)，由(1)知tanAtanB=13>0，且A，B是△ABC的内角，可得tanA>0，tanB>0，所以tanA+tanB≥2 tanAtanB=2 13=2 33，当且仅当tanA=tanB时等号成立，所以−32(tanA+tanB)≤−32×2 33=− 3，所以tanC≤− 3，当且仅当tanA=tanB时等号成立，可得C∈(π2,2π3]；(3)当∠ACB最大时，C=2π3,A=B=π6，由MC=(−1, 3)，可得|MC|= (−1)2+( 3)2=2，因为M∈AB，当M与A和B点重合时，AC=|MC|=2，当M与A和B点不重合时，可得∠AMC∈(π6,5π6)，所以sin∠AMC∈(12,1],在△AMC中，由正弦定理可得CMsin∠CAM=ACsin∠AMC，即212=ACsin∠AMC，可得AC=4sin∠AMC，又sin∠AMC∈(12,1]，所以AC∈(2,4]，综上，AC的长的取值范围是[2,4]．19.(1)(i)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA=PB，作PE⊥AB，则E为AB的中点，且PE⊥平面ABCD．因为AB=CD，AB=BC=AD=2.所以底面四边形ABCD为菱形，因为∠BAD=π3，所以△ABD为等边三角形，AC=2×1× 3=2 3，设△ABC外接圆的半径为r，由正弦定理得ACsin∠ABC=2 3sin2π3=2r，解得r=2，设△ABC外接圆圆心为O1，则O1A=O1B=O1C=r=2．又DA=DB=DC=2，从而O1与D重合，即D为△ABC外接圆圆心．由三棱锥P−ABC的外接球的性质，即OD⊥平面ABCD，又PE⊥平面ABCD，所以OD//PE，因为PE⊂平面PAB，所以OD/​/平面PAB．(ii)由题意，△PAB为正三角形，则△PAB外接圆的圆心在PE上，记为O2，由正三角形性质可得圆O2的半径PO2=23PE=2 33，则O2E= 33．连接OO2，则OO2⊥平面PAB，所以EDOO2为矩形，OD=O2E= 33．三棱锥P−ABC的外接球R=OA= OD2+AD2= 。