高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题一空间几何体的三视图——解析.pdf

1 - 专题一空间几何体的三视图I 题源探究黄金母题【例 1】如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积与体积（尺寸如图，单位：cm，取 3.14 ，结果精确到21cm，可用计算器）【解析】由奖杯的三视图知奖杯的上部是直径为4cm的球，中部是一个四棱柱，其中上、下底面是边长分别为8cm、4cm的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm、8cm的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm、4cm的矩形，下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别 10cm、8cm的矩形，下底面是边长分别20cm、16cm的矩形，直棱台的高为2cm，所以它的表面各和体积分别为11933cm、10673cmII 考场精彩真题回放【例 2】【2016 全国新课标卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A1836 5B54 18 5C90 D81 【答案】 B - 2 - 【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2 3 623 323 3 554 18 5S，故选 B【例 3】 2016 年全国1 卷理如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）A17B18C20D28【答案】 A 【解析】由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R，则37428VR833，解得R2，所以它的表面积是R222734221784，故选 A【例 4】 【 2016 全国新课标卷】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D32【答案】 C 【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为122 416S，圆锥的侧面积为2122 482S，圆柱的底面面积为2324S，故该几何体的表面积为- 3 - 12328SSSS，故选 C【例 5】 【 2016 天津高考】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）【答案】 B 【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B 【例6】 【2016 山东高考】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（）A12+33B12+33C12+36D21+6【答案】 C 【解析】由已知，半球的直径为2，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为31142121 1()323236，故选 C【例 7】 （ 2015 年湖南高考理科）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材- 4 - 料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积） （）A89B169C34(21)D312( 21)【答案】 A 【解析】由题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，y， ，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则22224)2(aayx，如下图所示，圆 锥 的 轴 截 面 如 图 所 示 ， 则 可 知ahha22221， 而 长 方 体 的 体 积22222xyVxyhha h22(22 )aa322162()327aaa，当且仅当yx，3222aaa时，等号成立，此时利用率为98213127162，故选 A精彩解读【试题来源】人教版 A版必修二第29 页习题 1.3B 组第 1 题【母题评析】本题根据球、柱、台组合的组合体的三视图求其体积与表面积，这是题型在高考中较为多见，因此在备考中必须引起重视- 5 - 【思路方法】根据三视图求相应的几何体的体积与表面积通常分两个步骤完成：（1）根据三视图确定出几何体的直观图；（2）结合三视图中的数据求几何体的体积或表面积【命题意图】本类题通常主要考查识图能力与空间想象能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档，往往与柱、锥、台、球的体积或表面积计算相联系. 【难点中心】根据三视图求几何体的体积与表面积其难点主要是如何根据三视图还原出几何体的直观图III理论基础解题原理考点一三视图的基本概念主视图光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图叫做几何体的正视图，反映了几何体的左右、上下的位置关系. 俯视图光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图叫做几何体侧视图反映了几何体的左右、前后的位置关系. 左视图光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图叫做几何体的俯视图反映了几何体的前后、上下的位置关系. 考点二棱柱、棱锥、棱台的三视图棱柱、棱锥、棱台通常情况下，正视图分别表现为矩形、三角形、梯形，侧视图分别表现为矩形、三角形、梯形，俯视图表现为多边形考点二圆柱、圆锥、圆台、球的三视图1圆柱：正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆. 特征：两矩形线框对应一圆形线框. 下图2圆锥：正视图和侧视图都是三角形，俯视图是圆和圆心. 特征：两三角形线框对应一圆形线框 . 如下图- 6 - 3、圆台：正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆. 特征：两梯形线框对应一圆形线框（两同心圆）. 如下图4球体：正视图、侧视图、俯视图均为圆考点三空间几何体的表面积1棱柱、棱锥、棱台的表面积：计算表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解特别地，棱长为a的正方体的表面积26Sa正，长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积2()Sabbcca长2圆柱、圆锥、圆台的表面积：计算表面积时分为侧面积与底面积两部分，其侧面积可以利用侧面展开图得到，其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长3球的表面积：24SR（R为球的半径） 考点四空间几何体的体积1柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S和高确定，即VSh柱体特别地，底面半径是，高是的圆柱的体积是2Vr h圆柱根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的2锥体的体积： 锥体（棱锥、 圆锥）的体积等于它的底面积是S和高的积， 即13VSh锥体特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积是213Vr h圆锥3 台体的体积： 台体 （棱台、圆台）的体积由上底面积S、 下底面积S、 高是确定，即13VS台体（SSSh） 特 别 地 ， 上 、 下 底 半 径 分 别 是 ，R， 高 是 的 圆 台 的 体 积 是- 7 - 221)3Vh rrRR圆台（4球的体积：343VR（R为球的半径） IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档，往往与几何体的表面积与体积联系在一起【技能方法】1简单组合体的三视图画法（1）确定主视、侧视、俯视的方向（2）分解简单组合体，清楚由哪几个基本几何体生成的，特别是它们的交线位置（3）画出的三视图要检验是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征2由三视图还原实物图（1）根据主视图和侧视图确定实物前后与左右侧面的图形形状；（2）根据俯视图确定底面的形状；（3）根据三视图中交线的虚实确定实物体的凹凸【易错指导】（1）在三视图中不区分虚线与实线，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可见轮廓线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出；（2）对于根据组合体三视图还原时，可能分析不清组合体是采用什么形式组合的而不能正确还原；V举一反三触类旁通考向 1 三视图的识别【例 8】 【2013 年新课标卷】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1 ，0，1)，(1 ，1，0) ，(0 ，1，1)，(0 ，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（）【答案】 A 【解析】 在空间直角坐标系Oxyz中画出三棱锥， 如图所示， 由已知可知三棱锥OABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选 A- 8 - 【例 9】 【2016 海南省华侨中学考前模拟】一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz中的坐标分别是1,0,0，0,1,0，0,0,1，1,1,1，画该四面体三视图中的正视图时，以x z平面为投影面，则得到正视图可为（）A B C D 【答案】 B 【点评】此类题型多以给出形形色色的几何体，然后让我们去判断它的三视图，或选择或绘图. 解答时必须根据几何体的结构特点，分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体，但注意用平行光去看【跟踪练习】【2016 届山东师大附中最后一模】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）Aab， B ac， Ccb， Dbd，【答案】 A 【解析】由直观图可知：其正视图与侧视图完全相同，恰为圆柱与轴垂直的截面，即这两个视图只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线（实线），故选 A考向 2 根据三视图求几何体的表面积【例 10】 【2015 年北京高考理】 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）- 9 - 正 (主 )视图11俯视图侧 (左 )视图21A 25B 45C 22 5D 5 【答案】 C 【解析】根据三视图还原成三棱锥PABC，其中PC平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有,PDAB CDAB，底面ABC为等腰三角形，底边AB上的高CD为2，1ADBD，1PC，5PD，12222ABCS，12552PABS，5ACBC，PACPBCSS155122，所以三棱锥的表面积为2 52S表，故选 C【例11】 【2017 湖南师大附中上学摸底】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是（）A24 B248 2C244 2D32【答案】 C 【点评】由几何体的三视图求几何体的表面积，通常情况下须先将三视图转化为其几何体的直观图，然后根据相关的表面积公式从三视图中提取相关数据，再代公式进行计算【跟踪练习】 【2016 广西自治区桂林柳州高考压轴卷】一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积是（）- 10 - A232cmB222cmC2322cmD112cm【答案】 A 考向 3 根据三视图求几何体的体积【例 12】 【2016 年北京高考】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A16B13C12D1 【答案】 A 【 解 析 】 由 三 视 图 知 ， 该 几 何 体 为 一 三 棱 锥PABC， 如 下 图 的 示 ， 其 体 积1 111 1 13 26V，故选 A. - 11 - 【例13】【 2016 郑州一中考前冲刺】已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm ） ，则此几何体的体积为（）A3221cmB3215cmC316cmD312cm【答案】 B 【点评】由几何体的三视图求几何体的体积，通常情况下须先将三视图转化为其几何体的直观图，然后根据相关的体积公式从三视图中提取相关数据，再代公式进行计算对于组合体三视图问题相对较困难，还原几何时注意分析组合的形式，即明确是左右组合型、前后组合型、上下组合型、内外挖空型、边角截取型等- 12 - 【跟踪练习】【2016 洛阳市考前练习二】一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为（）A3(8)6B3(92 )6C3(82 )6D3(6)6【答案】 A 考向 4 求三视图的面积【例 14】 【2016 黑龙江大庆实验中学考前训练一】把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥ABCD的正视图与俯。