多元函数的微积分解读.ppt

1 6 2多元函数的微积分 主要内容 一 多元函数的概念二 二元函数的极限和连续三 偏导数的概念及简单计算四 全微分五 空间曲线的切线与法平面六 曲面的切平面与法线七 多元函数的极值 2 设D是平面上的一个点集 如果对于每个点P x y D 变量z按照一定法则总有确定的值和它对应 则称z是变量x y的二元函数 或点P的函数 记为z f x y 或z f P 二元函数的定义 其中D称为定义域 x y称为自变量 z称为因变量 类似地可定义三元及三元以上函数 当自变量的个数多于一个时 函数称为多元函数 一 多元函数的概念 3 二元函数的图形 二元函数的图形是一张曲面 例z ax by c是一张平面 点集 x y z z f x y x y D 称为二元函数z f x y 的图形 4 由方程x2 y2 z2 a2确定的函数z f x y 有两个 由方程x2 y2 z2 a2确定的函数z f x y 是中心在原点 它的定义域为D x y x2 y2 a2 半径为a的球面 5 二 二元函数的极限和连续1 二元函数的极限 设函数f x y 在开区域 或闭区域 D内有定义 P0 x0 y0 是D的内点或边界点 如果对于任意给定的正数e总存在正数d 使得对于适合不等式 都有 f x y A e成立 则称常数A为函数f x y 当x x0 y y0时的极限 记为 这里r PP0 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限 定义 的一切点P x y D 6 1 二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A 例 当点P x y 沿x轴 y轴趋于点 0 0 时函数的极限为零 当点P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 时 注意 2 如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 7 8 则称函数f x y 在点P0 x0 y0 连续 定义 设函数f x y 在开区域 或闭区域 D内有定义 P0 x0 y0 D 函数f x y 在区域 开区域或闭区域 D内连续 是指函数f x y 在D内每一点连续 此时称f x y 是D内的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f P 上去 2 二元函数的连续性 如果 9 所以函数在原点不连续 例 函数在单位圆 上各点是否连续 若在单位圆上任何点都不连续 10 设函数z f x y 在点 x0 y0 的某一邻域内有定义 当y固定 在y0而x在x0处有增量 x时 相应地函数有增量 f x0 x y0 f x0 y0 如果极限 存在 则称此极限为函数z f x y 在点 x0 y0 处对x的偏导数 记作 定义 偏导数的概念及简单计算1 偏导数的概念 11 记作 如果极限 则称此极限为函数z f x y 在点 x0 y0 处对y的偏导数 存在 12 对自变量的偏导函数 记作 偏导函数 如果函数z f x y 在区域D内每一点 x y 处对x的偏导数都 存在 那么这个偏导数就是x y的函数 它就称为函数z f x y 类似地 可定义函数z f x y 在点 x0 y0 处对y的偏导函数 记为 偏导数与偏导函数的关系 13 2 一阶偏导数的计算 注意 看成二者之商 14 例3求z x2 3xy y2在点 1 2 处的偏导数 解 15 3 二阶偏导数的计算 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 二阶偏导数 设函数z f x y 在区域D内具有偏导数 那么在D内fx x y fy x y 都是x y的函数 如果这两个函数 的偏导数也存在 则称它们是函数z f x y 的二偏导数 16 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 其中 称为混合偏导数 同样可得三阶 四阶以及n阶偏导数 高阶偏导数 17 解 18 在对x求导就有 得证 19 设z f u v 而u j x y v y x y 则复合函数 4 复合函数的微分法 链式法则 z f j x y y x y 的偏导数为 20 21 四 全微分 全增量 z f x x y y f x y 称为函数在点P x y 对 自变量增量 x y的全增量 全微分的定义 如果函数z f x y 在点 x y 的全增量 22 记作dz或df x y 即 或 可微 当函数z f x y 在 x y 全微分存在时 称z f x y 在 x y 可微 当函数z f x y 在区域D的每一点都可微时 称z f x y 在区域D可微 23 定理1 函数z f x y 在其一阶偏导数连续时一定可微 定理2 函数z f x y 在可微点连续 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数 连续 则它可微 且其全微分为 24 解由定义知 所以 得 25 解因为 所以 26 五 空间曲线的切线与法平面 定义 设在空间曲线上有一个定点 在其邻近处取上另一点 并作割线 令沿趋近 那么割线的极限位置 T 27 设空间曲线 的参数方程为 得曲线在点M处的切线方程为 过曲线 上t t0和t t0 t对应的 考虑 当M M 即 t 0时 x t y y t z w t 这里假定 t y t w t 都可导 点M和M 作曲线的割线MM 28 通过点M而与切线垂直的平面 法平面 j t0 x x0 y t0 y y0 w t0 z z0 0 称为曲线 在点M处的法平面 法平面方程为 29 例9求曲线x t y t2 z t3在点 1 1 1 处的切线及法平面 于是 切线方程为 法平面方程为 x 1 2 y 1 3 z 1 0 即x 2y 3z 6 方程 数t 1 所以 30 曲面 上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面 在点M的切平面 通过点M x0 y0 z0 而垂直于切平面的直线称为曲面在该 曲面的切平面 曲面的法线 六 曲面的切平面与法线 曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 点的法线 31 其中函数z f x y 具有连续的一阶偏导数 法线的方程为 32 切平面方程为 33 解f x y 3x2 2y2 例10求抛物面z 3x2 2y2在点P 1 1 5 处的切平面方程及 所以在点 2 1 4 处的切平面方程为6 x 1 4 y 1 z 5 0 即6x 4y z 5 0 法线方程为 法线方程 34 七 多元函数的极值 设函数z f x y 在点 x0 y0 的某个邻域内有定义 对于该邻域内异开 x0 y0 的点 x y 如果都适合不等式f x y f x0 y0 则称函数在点 x0 y0 有极小值f x0 y0 极大值 极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 极值的定义 定理有界闭域上的连续函数一定存在最大值和最小值 35 例11函数z x 2 2 y 3 2 1在点 2 3 处有极小值 1 也有使函数值为负的点 因为在点 0 0 处的函数值为零 而在点 0 0 的任一邻域内 总有使函数值为正的点 36 定理设函数z f x y 在点 x0 y0 具有偏导数 且在点 取得极值的必要条件 x0 y0 处有极值 则它在该点的偏导数必然为零 驻点 函数z f x y 的驻点 注意 函数的驻点不一定是极值点 极值点一定是驻点 如 函数 点是其驻点 但不是其极值点 37 定理设函数z f x y 在点 x0 y0 的某邻域内连续且有一 取得极值的充分条件 3 AC B2 0时可能有极值 也可能没有极值 2 AC B2 0时没有极值 AC B2 0时具有极值 且当A0时有极小值 则f x y 在 x0 y0 处是否取得极值的条件如下 阶及二阶连续偏导数 又fx x0 y0 0 fy x0 y0 0 令 38 求二元函数极值的步骤 fx x y 0 fy x y 0 第一步解方程组 求得一切实数解 即可得一切驻点 第二步对于每一个驻点 x0 y0 求出二阶 偏导数的值A B和C 第三步定出AC B2的符号 按定理的结论判f x0 y0 是否是极值 是极大值还是极小值 39 例12求函数f x y x3 y3 3x2 3y2 9x的极值 求得驻点为 1 0 1 2 3 0 3 2 在点 1 0 处 AC B2 12 6 0 又A 0 所以函数的 1 0 处有极小值f 1 0 5 在点 1 2 处 AC B2 12 6 0 又A 0 所以函数的 3 2 处有极大值f 3 2 31 fxx x y 6x 6 fxy x y 0 fyy x y 6y 6 再求出二阶偏导数 40 八 小结 1多元函数的概念 2二元函数的极限 3二元函数的连续性 41 1 偏导数的概念 2 一阶偏导数的计算 3 二阶偏导数的计算 4 复合函数的微分法 5全微分 4偏导数的概念及简单计算 42 6 空间曲线的切线与法平面 7 曲面的切平面与法线 8 多元函数的极值 j t0 x x0 y t0 y y0 w t0 z z0 0 函数极值的求法 43 九 作业 习题6 2 2 4 6 8 10 知识回顾KnowledgeReview 。