一元二次不等式的解法.doc
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一元二次不等式的解法一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系二、例题 第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成 了“a＞0”例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。
评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它它是函数与方程思想的应用范例应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”解】一元二次不等式的解集表：记忆图 分类△＞0△=0△＜0ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集（－∞，x1）∪（x2,＋∞）（－∞，x0）∪（x0，＋∞）Rax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集(x1，x2)【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）例4、写出一元二次不等式的解法步骤解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)这步可简记为“使a＞0” 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根 3.写出解集：用区间或用大括号表示解集 例：解不等式 x+2＞3x2 解：原不等式等价于 3x2－x－2＜0 解方程3x2－x－2=0得二根：，x2=1。
∴原不等式的解集为（，1） 第二阶梯例1、解下列不等式： （1）2+3x－2x2＜0； （2）－x2+2x－3x＞0； （3）x2－4x+4＞0【解】（1）原不等式等价于2x2-3x-2>0 由2x2－3x－2=0得，x2=2. ∴原不等式的解集是 （2）原不等式等价于:x2-2x+3<0 由△=＜0，知原不等式解集为 （3）△=，方程有等根， ∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}评注】 1.要严格按“解法步骤”求解 2.最后要用集合表示法表出解集如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为，但有的同学把第（3）题的解集表为x≠2，这是错误的例2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)＞0【探路】化为一元二次不等式来解解】∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0 ∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0， ∴原不等式等价于 (1+x)(2-x)＞0＜0－1＜x＜2 ∴原不等式的解集为（－1，2）。
例3、设全集为R，已知A={}，求探路】解不等式化简集合A解】 ，……（1） 方程2x2-x-1=0的两根为 ∴不等式①的解集为[，1]， ∴A=[，1] ∴例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围探路】列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组解】已知方程有两个负根的等价条件是 ∴m的取值范围是（]∪[1，＋∞）【评注】 1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故△≥0，因此列成△＞0是错误的又若只列成△≥0也是错误的，△≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x2>0,x1+x2<0的条件 2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用 第三阶梯例5、已知A=，B= （1）若BA，求a的取值范围； （2）若A∩B是单元素集合，求a取值范围探路】先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值解】解不等式得A=[1，2]；而B={≤0}。
（1）若BA，如图1，得a的取值范围是1≤a＜2 （2）若A∩B是单元素集合，如图2，A∩B只能是集合{1} ∴a的取值范围是a≤1评注】 集合B的最简表示只能是B={}，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B={1}，也不该表示为区间例6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a2＜0(a∈R)探路】先求出不等式相应的二次方程的根，然后注意分类讨论，比较两根的大小，求出不等式的解集解】解方程2x2-5ax-3a2=0，得 当a＞0时，＜3a，原不等式的解集是（，3a）； 当a＜0时，＞3a，原不等式的解集是（3a，）； 当a=0时，=3a=0，原不等式的解集是评注】解含字母系数的二次不等式，在求出相应方程的二根后，应注意对字母分类讨论两根的大小， 进而确定相应的解集例7已知（且b＞0）的解集为{x|－1≤x≤2}，求实数a，b的值探路】将不等式|ax+3|≤b化为二次不等式，利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值解】 ∴关于x的二次不等式（a2＞0)的解集为[－1，2]。
∴－1和2是方程的二根 ∴ 解得；或 ∵b＞0，舍去后一组解 ∴a=-6,b=9【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题三、练习题 A组1.不等式|x(x+1)| ＞x(x+1)的解集是（ ） （A）（－∞，－1）∪（－1，+∞） （B）（－1，+∞） （C）（－∞，－1）∪（－1，0） （D）（－1，0）2.不等式42x2+ax＜a2（常数a＜0）的解集是（ ） （A） （B） （C） （D）3.不等式＜0的解集是（ ） （A）（0，3） （B）（－3，0） （C）（－3，3） （D）R4.若关于x的不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为，那么（ ） （A）a＜0，且b2－4ac＞0 （B）a＜0，且b2－4ac≤0 （C）a＞0，且b2－4ac≤0 （D）a＞0，且b2－4ac＞05.有三个关于x的方程：，已知其中至少有一个方 程有实根，则实数a的取值范围为（ ） （A）－4≤a≤4 （B）－2＜a＜4 （C）a＜0 （D）a≤－2，或a≥46.不等式4≤x2-3x＜18的整数解集是 。
7.若方程组有两组解，则实数m的取值集合是 8.集合A=，B=，则A∩B= 9.若的解集是{x|2＜x＜4}，则p，q的值分别是p= ，q= 10.对任何实数x，函数的值恒为负数，则p的取值范围是 答案】 1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.{－2，－1，4，5} 7.（） 8.（2，4） 9. 10.－4＜p≤0 B组1．解不等式： (1)（x+1）(x+2)＞ 0; (2) 2x(x-)＜ 0; (3)14-4x2 ≥x; (4)0＜x2-x-2 ＜4.2.解不等式组 x(x2+1)≥(x+1)(x2-x+1), 1-2x＞3(x-9).3.解不等式： （1）＜ 0 （2）＞ 14．解不等式（x+a）(x+b)＞0 (a＜b)5．X为何值时，抛物线y=-x2+5x-5上的点位于直线y=1的上方6．已知U=R,且A={x| x2-9 <0 },B={x| x2-3x+2≥ 0} 求： （1）A∩B； （2）A∪B （3）Cu（A∩B） （4）（Cu A）∪（Cu B）7．不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1 <0的解集为R，求a的取值范围。
8．解不等式x>9.已知全集U=R，A={x|x2-x-6>0},B={x|x2+2x-8>0},C= {x|x2-4ax+3a<0},若A∩BC，求实数a的取值范围10．已知A={x||x-a≤1},B={x|≥ 0},且A∩B=,求a的取值范围答案 1．（1）{x|x<-2或x>-1}; (2){x|0
