高中数学复习专题46 古典概型与概率的基本性质（解析版）.docx

专题46 古典概型与概率的基本性质 【考点预测】知识点1、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.知识点2、古典概型（1）定义一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.知识点3、概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．【方法技巧与总结】1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：(1)本试验是否具有等可能性；(2)本试验的基本事件有多少个；(3)事件是什么．2、解题实现步骤：(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；(3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；(4)利用公式求出事件的概率．3、解题方法技巧：(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．【题型归纳目录】题型一：简单的古典概型问题题型二：古典概型与向量的交汇问题题型三：古典概型与几何的交汇问题题型四：古典概型与函数的交汇问题题型五：古典概型与数列的交汇问题题型六：古典概率与统计的综合题型七：有放回与无放回问题的概率题型八：概率的基本性质【典例例题】题型一：简单的古典概型问题例1．（2022·全国·高三专题练习（理））池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：95339522001874720018387958693281789026928280842539908460798024365987388207538935据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.故选：B.例2．（2022·全国·高三专题练习（理））假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93　28　12　45　85　69　68　34　31　25  73　93　02　75　56　48　87　30　11　35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（    ）A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35【答案】A【解析】解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为=0.50.故选：A.例3．（2022·河北·武安市第一中学高三阶段练习）一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：917  966  191  925  271  932  735  458  569  683431  257  393  627  556  488  812  184  537  989则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】20组随机数恰好有两个是的有191，271，932，393，812，184共6个，因此概率为．故选：B．变式1．（2022·全国·高三专题练习（文））从3名男生和2名女生中随机选取3人参加书法展览会，则选取的3人中至少有2名男生的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】记3名男生分别为，，，2名女生分别为，，从5人中随机选取3人，所有的可能结果为，，，，，，，，，，共10种，“其中至少有2名男生”对应的结果有7种，故所求概率为.故选：B.变式2．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为共四类情况；第一类：，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；第二类：，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；第三类：，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；第四类：，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，综上可知：所有的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，其中大于40的有41，63，67，72，76，81共计6个，故这个两位数大于40的概率为，故选：B.变式3．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】每个位置可排0或1，故有2种排法，因此用6个数字的一个排列的总个数为，恰好有2个1的排列的个数共有，故概率为：，故选：D变式4．（2022·全国·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，当甲同学为第5名时，乙同学可能是第2，3，4名，故有种，当甲同学不是第5名时，甲、乙同学可能是第2，3，4名，故有种，故满足回答者的所有情况共种.其中，最终丙和丁获得前两名的情况有两类，当甲同学为第5名，丙和丁获得前两名时有种；当甲同学不是第5名，丙和丁获得前两名时，有种，所以，最终丙和丁获得前两名的情况有种，所以，最终丙和丁获得前两名的概率为故选：A变式5．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））已知某校高三年级共​人，按照顺序从​到​编学号.为了如实了解学生“是否有带智能进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有​个黑球和​个白球的不透明盒子中随机取出​个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能进入校园的行为？现在高三年级​人全部参与调查，经统计：有​人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能进入校园”的人数大概为（    ）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】B【解析】根据题意，​人分为​（人）和​（人），​人中将有​人回答“否”，则​人中有​(人)回答“否”，​人回答“是”，则问是否带的回答是人数约占​，该校高三年级“带智能进入校园”的人数约为​（人）.故选：B题型二：古典概型与向量的交汇问题例4．（2022·全国·高三专题练习）已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】向量与所成的角为锐角等价于，且与的方向不同，即，则满足条件的向量有，其中或时，与同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，又的取法共有种，则向量与所成的角为锐角的概率是．故选：B．例5．（2022·全国·高三专题练习（理））从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，可以组成向量的个数是（个；其中与向量垂直的向量是和，共2个；故所求的概率为．故选：B．例6．（2022·全国·高三专题练习）设，向量，则的概率为（    ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】，所以或或，因此概率为＝.故选：B.变式6．（2022·全国·高三专题练习）已知向量.若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率.【解析】分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，有序数对可能情况有36种，即，包含的情况有三种，所以满足的概率为.故答案为：.变式7．（2022·福建省福州外国语学校高三阶段练习）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（2，6），则向量与共线的概率为___________【答案】【解析】试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次,共有种结果,满足条件事件是向量与共线,即，，满足这种条件的有,共有2种结果,向量与共线的概率,故答案为：.题型三：古典概型与几何的交汇问题例7．（2022·安徽马鞍山·二模（文））在边长为1的正方形四个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______.【答案】【解析】由题意，从正方形四个顶点中任取2个点，有，，，，，，共有6种结果，若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为，，共有2个结果，所以对应的概率，故答案为：例8．（2022·云南·一模（理。