二次函数图像与abc符号关系.ppt

二次函数 y=ax²+bx+c 的符 号问题知识点一： 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：开口向上a>0 开口向下a0与y轴的负半轴相交 c0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac0,b2-4ac≤0 x知识点二： 2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条件是什么？＜变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的值永远是负值的条件是什么？你知道吗？不论x取何值时，函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非 正数的条件是什么？知识点三： 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上a+b+c>0 a+b+c0 a-b+c0,b0,△>0.练习2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：xyoa>0,b>0,c=0,△>0.练习3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：xyoa0,△>0.练习4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：xyoa>0,b=0,c>0,△=0.练习5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：xyoa>0,b=0,c=0,△=0.练习6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：xyoa0,c0,c>0,D练习8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图 象是图中的（ ）xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C练习9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的 个数是 （ ）A、2个 B、3个C、4个 D、5个xoy-11C练习10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中：①b＞0；②c0所以b>-a-c两边同时平方11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ ）A、abc＞0 B、b2-4ac＞0C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0xoy-11D练习-b\2a-2a,2a+b>01、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则 m= .2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上 则b= ________ 3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线 x=2则b= ________ 160-4练一练： 1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，下列结论中：①abc＞0； ②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ ）A、2个 B、3个C、4个 D、5个xoy-11C4错练一练： 2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如 图所示，下列结论中下正确的是（ ）A、abc＞0 B、b2-4ac＞0C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0xoy-11D1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c， 且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( )A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac=0C.b2-4ac＜0 D. b2-4ac≤0二、典型例题分析A2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点M（b,c/a)在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D. 第四象限D-1a 0,c >03.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( )B4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c的图像如图所示，则函数值y＜0时，对应的x取值范围是 .-3＜x＜1.-3-3１5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，下列结论：① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③ abc＞0；④b=2a 中正确个数为 ( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个A6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 ( )A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)C当x= 1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=a-b+ca 0 x=- b/2a=-1D7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列a、b、c间的关系判断正确的是( ) A.ab 0 D.a-b+c 0的 解为 ( ) A.x > a/b B.x > -a/b C.x < a/b D.x < -a/b Da <0,b <0,c <0a <0,b <09.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示， 那么下列判断不正确的有( )A.abc＞0 B. b2-4ac＞0C.2a+b＞0 D.4a-2b+c＜0DX= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0 当x=-2时, y=4a-2b+c＞0D10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是 ( )A.a＞0 B.a＞- 4/9C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠011.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向 外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面 与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面40/3米，则水流落地点B离墙 的距离OB是 ( )A.2米 B.3米C.4米 D.5米BO①抛物线顶点M（1,40/3)与y轴交点A(0.10) ②求得抛物线解析式;③求出抛物线与x轴的交点;1、(青海省)如图所示，已知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作 直线，求此直线的解析式； (3)求△ABC的面积.(1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用 能力提升2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值 范围.(2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限 用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件 的特点选择合适的方法来求解一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点 式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴 两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称 轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条 件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后 组成三元一次方程组来求解。

例:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为 10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试. ｛待定系数法例：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)（2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3 ）已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过（0，-3），∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2 ，-7）已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点∴a-b+c=0c=14a+2b+c=-7a=-1b=-2c=1y=-x2-2x+1例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经 过点C（2，8）（1）求该抛物线的解析式 （2）求该抛物线的顶点坐标解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点， 得4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解这个方程组得，a=2b=2C=-4所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）例：如图，已知二次函数 的图像经过点 A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其 中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称， 求m的值及点Q 到x轴的距离．xyO3－9－1－1AB图13解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得 解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）． （3）将（m，m）代入 ，得 ， 解得 ．∵m＞0，∴ 不合题意，舍去 ． ∴ m=6． ∵点P与点Q关于对称轴 对称， ∴点Q到x轴的距离为6．抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（3）b的符号： 由对称轴的位置确定（5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定（6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定（7）2a±b的符号： 对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定小结。