2022年中考第一轮复习第1讲《实数》专题训练含答案.pdf

第一单元数与式第 1 讲实数考纲要求命题趋势1理解有理数、 无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数2 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值3理解平方根、 算术平方根、 立方根的概念， 会求一个数的算术平方根、平方根、立方根4理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数5 熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小 .实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力. 知识梳理一、实数的分类实数有理数整数零负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数负无理数无限不循环小数二、实数的有关概念及性质1数轴(1)规定了 _、_、_的直线叫做数轴；(2)实数与数轴上的点是一一对应的2相反数(1)实数 a 的相反数是 _，零的相反数是零；(2)a 与 b 互为相反数 ? ab _. 3倒数(1)实数 a(a0)的倒数是 _；(2)a 与 b 互为倒数 ? _. 4绝对值(1)数轴上表示数a 的点与原点的_，叫做数a 的绝对值，记作|a|. (2)|a|a0 ，a0 ，a0 .5平方根、算术平方根、立方根(1)平方根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页定义：如果一个数x 的平方等于a，即 x2a，那么这个数x 叫做 a 的平方根 (也叫二次方根)，数 a 的平方根记作_一个正数有两个平方根，它们互为_；0 的平方根是0；负数没有平方根(2)算术平方根如果一个正数x 的平方等于a，即 x2a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根，a 的算术平方根记作 _零的算术平方根是零，即00. 算术平方根都是非负数，即a0(a0)(a)2a(a0)，a2|a|a a 0 ，a a0 .(3)立方根定义：如果一个数x 的立方等于a，即 x3a，那么这个数x 叫做 a 的立方根 (也叫三次方根)，数 a 的立方根记作_任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同6科学记数法、近似数、有效数字(1)科学记数法把一个数 N 表示成 _(1a10，n 是整数 )的形式叫做科学记数法当N1 时， n 等于原数 N 的整数位数减1；当 N 1 时， n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)(2)近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从_ _第 1 个不为 0 的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字三、非负数的性质1常见的三种非负数|a| 0，a20，a0(a0)2非负数的性质(1)非负数的最小值是零；(2)任意几个非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 四、实数的运算1运算律(1)加法交换律：ab _. (2)加法结合律：(ab)c_. (3)乘法交换律：ab_. (4)乘法结合律：(ab)c_. (5)乘法分配律：a(bc)_. 2运算顺序(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2) 同级运算，按照从_至 _的顺序进行；(3) 如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的3零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a0 _(a0)；(2)负整数指数幂的意义为：ap_(a0，p 为正整数 )五、实数的大小比较1实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数_正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小2作差比较法(1)ab0? ab；(2)ab0? ab；(3)ab0? ab. 3倒数比较法若1a1b，a0，b0，则 ab. 4平方法因为由 ab0，可得ab，所以我们可以把a与b的大小问题转化成比较a 和 b 的大小问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页(提示：本书 知识梳理 栏目答案见第122123 页) 自主测试1 2 的倒数是 () A12B.12C 2 D2 2 2 的绝对值等于() A2 B 2 C12D123下列运算正确的是() A |3|3 B131 3 C9 3 D327 3 42012 年世界水日主题是“水与粮食安全”若每人每天浪费水0.32 L ，那么 100 万人每天浪费的水，用科学记数法表示为() A3.2107 L B3.2106 L C3.2105 L D3.2104 L 5已知实数m，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是() Am0 Bn 0 Cmn 0 Dmn0 6计算： |5|16 32. 考点一、实数的分类【例 1】 四个数 5， 0.1，12，3中为无理数的是() A 5 B 0.1 C12D3 解析： 因为 5 是整数属于有理数，0.1 是有限小数属于有理数，12是分数属于有理数，3开不尽方是无理数，故选D. 答案： D 方法总结一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断有理数都可以化成分数的形式常见的无理数有四种形式：(1)含有 的式子； (2) 根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式触类旁通1 在实数 5，37，2，4中，无理数是() A5 B37C2 D4 考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例 2】 (1)15的倒数是 _；(2)(3)2的相反数是 () A6 B 6 C9 D 9 (3)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简|ab|b a2_. 解析： (1)15的倒数为1155；(2)因为 (3)29,9 的相反数是 9，故选 D；(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识由图可知， a 0，b0， |a| |b|，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页所以 a b0，ba0，原式 abba2a. 答案： (1)5(2)D(3)2a方法总结1求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出2解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想3相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0 和正数 (即非负数 )；倒数是它本身的数是 1. 触类旁通2 下列各数中，相反数等于5 的数是 () A 5 B5 C15D15考点三、平方根、算术平方根与立方根【例 3】 (1)(2)2的算术平方根是() A2 B 2 C 2 D2 (2)实数 27 的立方根是 _ 解析： (1)( 2)2的算术平方根，即22|2|2；(2)27 的立方根是3273. 答案： (1)A(2)3 方法总结1对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数； (2)0 的算术平方根是0；(3) 负数没有算术平方根；(4)算术平方根a具有双重非负性：被开方数 a 是非负数，即a0；算术平方根a本身是非负数，即a0. 2(3a)3a，3a3a. 触类旁通3 4 的平方根是 () A2 B 2 C16 D 16 考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例 4】2012 年安徽省有682 000 名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000 用科学记数法表示为() A0.69106B6.82105C0.68106D6.8105解析： 用科学记数法表示的数必须满足a10n(1|a|10，n 为整数 )的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1 个非零数查起，到精确到的数为止 .682 0006.821056.8105. 答案： D 方法总结1用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1 时， n 等于原数的整数位数减 1；当原数的绝对值小于1 时， n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数2取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位 ”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑3用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即 a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上触类旁通4 某种细胞的直径是51 04毫米，这个数是() A0.05 毫米B0.005 毫米C0.000 5 毫米D0.000 05 毫米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页考点五、非负数性质的应用【例 5】 若实数 x，y 满足x2(3y)20，则代数式xyx2的值为 _解析： 因为x20，(3y)20，而x2(3y)20，所以 x20,3y0，解得 x2，y3，则 xyx223222. 答案： 2 方法 总结常见的非负数的形式有三种：|a|，a(a0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为 0. 触类旁通5 若|m3|(n2)20，则 m 2n 的值为 () A 4 B 1 C0 D 4 考点六、实数的运算【例 6】 计算： (1)213cos 30 |5| ( 2 011)0. (2)(1)2 011123 cos 68 50|338sin 60 |. (1)分析： 2112，cos 3032，|5|5，( 2 011)01. 解： 原式12332 511232516. (2)分析：123(21)3238， cos 68 501，sin 6032. 解： 原式 18133 83283. 点拨： (1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即ap1ap(a0)(2)a0 1(a0)方法总结提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径要特别注意把好符号关考点七、实数的大小比较【例 7】 比较 2.5， 3，7的大小，正确的是() A 32.57 B2.5 37 C 37 2.5 D72.5 3 解析： 由负数小于正数可得3最小，故只要比较2.5 和7的大小即可，由2.52(7)2，得2.57，所以 32.57. 答案： A 方法总结实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围如：“ 差值比较法 ”用于比较任意两数的大小，而“ 商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、 “倒数法 ”等要依据数值特点确定合适的方法触类旁通 6 在 6,0,3,8 这四个数中，最小的数是() A 6 B0 C3 D8 1(2012 湖北黄石 )13的倒数是 () A13B3 C 3 D132(2012 江苏南京 )下列四个数中，负数是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页A |2| B (2)2C2 D223(2012 北京 )首届中国 (北京 )国际服务贸易交易会(京交会 )于 2012 年 6 月 1 日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000 美元将60 110 000 000 用科学记数法表示应为 () A6.011109B60.11109C6.0111010D0.601110114(2012 四川南充 )计算 2(3)的结果是 () A5 B1 C 1 D 5 5(2012 四川乐山 )计算：12_. 6(2012 重庆 )计算：4( 2)0 |5|(1)2 012132. 1下列各数中，最小的数是() A0 B1 C 1 D2 2若 |a|3，则 a 的。