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向量的几何证明.doc

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文档编号：536251783

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关于向量的几何证明周翔例1 用向量证明三角公式:证明:如图3,作一个单位圆,取平面上的两个单位向量使它们与x轴上的单位向量形成α、角,即图3评析:该公式在教材中采用构造法证明,先构造一个单位圆,再在单位圆上构造四点,形成两个全等三角形,利用两点间的距离公式证得.这种方法在构造图形上要求太高,很难与我们学过的知识相联系起来.当我们学过平面向量后,可以简洁地将此公式证明.同法,我们可以证明:例2 证明：设三个单位向量：，.综上所述,可得: 例3、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c.∵＋＝， ∴∴∴∴∴b－acosC＝ccosA 即b＝ccosA＋acosC 　…………………①类似地有 c＝acosB＋bcosA，　…………………②a＝bcosC＋ccosB. …………………③上述三式称为三角形中的射影定理.例4、用向量法证明三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式: , 式中为三条边的边长, , 为三角形的面积. 证明: 证明: 在三角形中, 设, , , , , 因为：的面积为: 所以: 　　　　　　　　＝………………(1)因为: , 所以: , 所以: ,所以: …………………… (2)将(2)式代入(1)式, 并化简得: 　　化简即得 . 所以　例5、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式如图，在直角坐标系中，已知，，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OACB，那么平行四边形的面积，三角形OAB的面积证明：设，那么可以得出，由于所以所以所以，因此。

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