134课题学习_最短路径问题.ppt

13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题•学习目标：学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．•学习重点：学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为利用轴对称将最短路径问题转化为““两点之间，线两点之间，线 段最短段最短””问题．问题． 课件说明课件说明想一想想一想想一想想一想小狗、小猫为什么都选择直的路？小狗、小猫为什么都选择直的路？小狗、小猫为什么都选择直的路？小狗、小猫为什么都选择直的路？ 难道它难道它难道它难道它们也都懂们也都懂们也都懂们也都懂数学？数学？数学？数学？草坪草坪教学楼教学楼活动室活动室小小 路路两点之间线段最短两点之间线段最短.AB草坪草坪教学楼教学楼活动室活动室小小 路路思考有人不慎掉入有鳄鱼的湖中如图，他在有人不慎掉入有鳄鱼的湖中如图，他在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢呢？？垂线段最短。

（一）两点在一直线两侧（一）两点在一直线两侧 一天，美羊羊在小溪旁的草地上一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，处玩耍，它家在小溪的另一侧它家在小溪的另一侧B处，美羊羊要回家就须处，美羊羊要回家就须过小溪请问它从何处过小溪回家的路程最短过小溪请问它从何处过小溪回家的路程最短？？ABlAB转化为数学问题转化为数学问题 已知直线l，点A和点B在直线l两侧，在直线l 上求作一点P，使PA+PB的值最小PC 一天，美羊羊在小溪旁的草地上一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，处玩耍，喜羊羊在小溪的另一侧喜羊羊在小溪的另一侧C处玩耍，它们的家在处玩耍，它们的家在小溪的另一侧小溪的另一侧B处，美羊羊和喜羊羊约好在小处，美羊羊和喜羊羊约好在小溪边会合，然后一起回家请问它们在何处会溪边会合，然后一起回家请问它们在何处会合回家的路程最短？合回家的路程最短？ACB（二）两点在一直线同侧（二）两点在一直线同侧 一天，美羊羊在小溪旁的草地上一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，处玩耍，它家在小溪的同一侧它家在小溪的同一侧B处，美羊羊要到小溪洗处，美羊羊要到小溪洗洗在回家。

请问它小溪的何处洗后回家的路程洗在回家请问它小溪的何处洗后回家的路程最短？最短？ABCP 探索新知探索新知　　追问　　追问1　　这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 　　将　　将A，，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线．． 探索新知探索新知B··Al一次对称一次对称（（1）从）从A 地出发，到河边地出发，到河边l 洗手，然后到洗手，然后到B 地；地； （（2）在河边吸收的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边吸收的地点有无穷多处，把这些地点与A，， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到洗手地点，再回到到洗手地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知　　追问　　追问2　　你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知　　追问　　追问2　　你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ （（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点．设上的点．设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，　　 AC 与与CB 的和最小（如图）．的和最小（如图）． BAlC　　追问　　追问1　　对于问题对于问题2，如何，如何将点将点B““移移””到到l 的另一侧的另一侧B′′处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB′′的长度的长度相等？相等？ 探索新知探索新知　　问题　　问题2 如图，点如图，点A，，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ B·lA·　　追问　　追问2　　你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B′′吗？吗？ 探索新知探索新知　　问题　　问题2 如图，点如图，点A，，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？ B·lA·　　作法：　　作法：（（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B′′；；（（2）连接）连接AB′′，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C．． 则点则点C 即为所求．即为所求． 探索新知探索新知　　问题　　问题2 如图，点如图，点A，，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ B·lA·B′′C探索新知探索新知　　问题　　问题3　你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B·lA·B′′C　　证明：　　证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C′′（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC′′，，BC′′，，B′′C′′．． 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =B′′C，，BC′=′=B′′C′′．． ∴ ∴　　AC + +BC = = AC + +B′C = = AB′，， AC′+ +BC′ = = AC′+ +B′C′．．探索新知探索新知　　问题　　问题3　你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B·lA·B′′CC′′探索新知探索新知　　问题　　问题3　你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B·lA·B′′CC′′　　证明：　　证明：在在△AB′C′中中， AB′＜AC′+ +B′C′， ∴　AC + +BC＜AC′+ +BC′．　　即　　　即　AC + +BC 最短．最短．　　若直线　　若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小．最小． 探索新知探索新知B·lA·B′′CC′′　　追问　　追问1　　证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C′′（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC ＜＜AC′′+ +BC′′？这里的？这里的““C′′””的作用是什么？的作用是什么？ 及时小结及时小结　　　　　　回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ B·lA·B′′CC′′ 我们通过“轴对称变换”，进行等量转化，借助“两点之间线段最短”，把要求的两条线段移到同一直线上。

引审应用引审应用两次对称两次对称（三）一点在两相交线（三）一点在两相交线 所成角的内部所成角的内部 如图，如图，805班在元旦晚会上，将桌子摆成班在元旦晚会上，将桌子摆成两排，两排，AB桌上摆满了糖果，桌上摆满了糖果，BC桌子上摆满桌子上摆满水果，某同学从座位水果，某同学从座位M起身拿糖果和水果，起身拿糖果和水果，再回到座位到何处拿，他所走的路程最短再回到座位到何处拿，他所走的路程最短？？ABCM引审应用引审应用两次对称两次对称（四）两点在两相交线（四）两点在两相交线 所成角的内部所成角的内部 如图，如图，805班在元旦晚会上，将桌子摆成班在元旦晚会上，将桌子摆成两排，两排，AB桌上摆满了糖果，桌上摆满了糖果，BC桌子上摆满桌子上摆满水果，某同学从座位水果，某同学从座位M起身拿糖果和水果，起身拿糖果和水果，再回到座位再回到座位N处到何处拿，他所走的路程处到何处拿，他所走的路程最短？最短？ABCMN 祝同学们天天开心，祝同学们天天开心，学习进步学习进步。