行列式的性质与计算1.ppt

1. 1. n n阶行列式的定义阶行列式的定义 a a11 11 a a1212 … … a a1 1n n a a2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnn注注: : 当当n n = 1 = 1时时, , 一阶行列式一阶行列式| |a a1111| = | = a a1111, , 这与绝对值符号的意义是不一样的这与绝对值符号的意义是不一样的. .  定义 (定理) 设有 n2个数，排成n行n 列的一个数表，定义n阶行列式为行列式完全 展开式行列式也可以如下定义对1, 2, …, n的所有排列 求和37例如例如, , 四阶行列式四阶行列式 中中, , a a1111a a1212a a1313a a14 14 a a2121 aa2222a a2323a a2424a a3131a a3232a a3333a a3434a a4141a a4242a a4343a a4444负负 a a1 12 2a a2 23 3a a3 34 4a a4 41 1a a1111a a1 12 2 a a1313a a14 14 a a2121 aa2222a a2 23 3 a a2424a a3131a a3232a a3333a a3 34 4a a4 41 1 a a4242a a4343a a4444a a1111a a1212a a1313a a1 14 4 a a2121 aa2222a a2 23 3 a a2424a a3131a a3 32 2 a a3333a a3434a a4 41 1 a a4242a a4343a a4444a a1 14 4a a2 23 3a a3 32 2a a4 41 1前面带前面带________号号, , 正正 a a1111a a1212a a1 13 3 a a14 14 a a2121 aa2 22 2 a a2323a a2424a a3 31 1 a a3232a a3333a a3434a a4141a a4242a a4343a a4 44 4a a3 31 1a a2 22 2a a1 13 3a a4 44 4前面带前面带________号号. . 负负 没有没有 , , a a1 11 1a a2222a a3 31 1a a4444前面带前面带________号号, , a a1 13 3a a2 22 2a a3 31 1a a4 44 4 （1）对角行列式282. 几个特殊的行列式a11 0 … 0 0 a22 … 0 … … … … 0 0 … ann = = a a11 11 a a2222……a annnn. .(2)上（下）三角行列式35引理：对n阶行列式的完全展开式中的任一项 ，任意调换其中因子的次序，即则它们之间的逆序数满足即就是说：无论做多少次对换，行指标与列指标的逆序数之和的奇偶性总保持 不变。

36证明:行标 列标 每一次对换 同时改变排 列的奇偶性 行列式也可以如下定义定义 (定理) n阶行列式也可定义为对D的所有取自不 同行不同列的元素 的乘积带符号求和3839例 判断在六阶行列式中，下列两项的符号.解列指标431265的逆序数为所以 前边应带正号.(1)40行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以 前边应带正号.(2)由于行标与列标排列的逆序数之和为偶数§2§2 行列式的性质与计算本节中，我们将介绍行列式的性质以及利用行列式的性质来求解行列 式1性质性质1 1. . D DT T= = D D. . 记记D D = = 行列式行列式D DT T称为称为D D的的转置转置. . 记记b bij ij= = a aji ji, , 则则 D DT Ta a11 11 a a1212 … … a a1 1n n a a2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnna a1111 a a2121 … … a an n1 1 a a1212a a2222 … … a an n2 2… … … … … … … …a a1 1n n a a2 2n n … … a annnn, , D DT T= =行列式的转置行列式的转置 = = D D. .  一、行列式的性质性质性质2 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明证明设行列式说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式 变换 两行得到的,４于是则有即当 时,当 时,５故 证毕６推论推论. . 若行列式若行列式 D D 中有两列（行）完全相同中有两列（行）完全相同, , 则则 D D = 0. = 0.a a11 11 a a12 12 a a2121 aa2222例如例如 = = a a1111a a2222   a a1212a a2121, , a a1212 a a1111 a a2222a a2121= = a a1212a a2121   a a1111a a2222. . 1 1 1 1 2 2 2 2 D D = = = =  1 1 1 1 2 2 2 2 = =  D D  D D = 0. = 0. a a11 11 a a1212 … … a a1 1n n k ka a2121 k ka a22 22 … … k ka a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnna a11 11 a a1212 … … a a1 1n n a a2121 aa22 22 … … a a2 2n n … … … … … … … … a an n1 1 a an n2 2 … … a annnn  性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.a a11 11 a a1212 … … a a1 1n n k ka a2121 k ka a22 22 … … k ka a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnna a11 11 a a1212 … … a a1 1n n a a2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnn= = k k . .  k ka a11 11 k ka a1212 … … k ka a1 1n n k ka a2121 k ka a22 22 … … k ka a2 2n n… … … … … … … …k ka an n1 1 k ka an n2 2 … … k ka annnna a11 11 a a1212 … … a a1 1n n a a2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnn= ___= ___. . k kn n 推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．证明９a a1111+ +b b1111a a1212 … … a a1 1n n a a2121+ +b b2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1+ +b bn n1 1 a an n2 2 … … a annnnb b1111 a a1212 … … a a1 1n n b b2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …b bn n1 1 a an n2 2 … … a annnn+ + . . a a1111a a1212 … … a a1 1n na a2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnnD= D=  性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和.例如，D =则D等于下列两个行列式之和：a a1111+ +b b1111a a1212 … … a a1 1n n a a2121+ +b b2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1+ +b bn n1 1 a an n2 2 … … a annnn a a1111+ +b b1111a a1212 … … a a1 1n n a a2121+ +b b2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1+ +b bn n1 1 a an n2 2 … … a annnnb b1111 a a1212 … … a a1 1n n b b2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …b bn n1 1 a an n2 2 … … a annnn+ + . . a a1111a a1212 … … a a1 1n na a2121 aa22 22 … … a a2 2n n… … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnn= =  a a + + u u b b + +v v c c + + x xd d + + y y = [ ]. = [ ]. + + a ab b c c d d (A) (A) u u v v x xy y 例例1 1. . + + u ub b 。