高二数学-知识讲解 复数代数形式的四则运算1226.doc

复数代数形式的四则运算 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义2. 会进行复数乘法和除法运算3. 掌握共轭复数的简单性质，理解、的含义，并能灵活运用要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式2.复数的加法运算律:交换律：z1+z2=z2+z1结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式：（）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.要点诠释：复数复平面内的点平面向量2．复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变     换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。

要点三、复数的乘除运算1．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为2．乘法运算法则：设，（），我们规定：要点诠释：1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式3．乘法运算律：(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3要点四、复数运算的一些技巧：1. 的周期性：如果n∈N，则有：，，，（）2. 3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即，其中z=x+yi（x，y∈R）．【典型例题】类型一、复数的加减运算例1.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) （2）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i)【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i（2） 解法一：原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i。

解法二：(1―2i)―(2―3i)=―1+i，(3―4i)―(4―5i)=―1+i，……(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i将上列1000个式子累加，得 原式=1000(―1+i)=―1000+1000i总结升华】 复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算举一反三：【变式】 (1)设z1=3+4i，z2=―2―i，求,(2) 已知z1=(3x+y)+(y―4x)i，z2=(4y―2x)―(5x+3y)i（x，y∈R），求z1―z2， 【答案】 (1) z1+z2=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i(2) z1－z1=(3x+y)+(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x+3y)i]=[(3x+y)－(4y－2x)]+[(y－4x)+(5x+3y)]i =(5x－3y)+(x+4y)i，类型二、复数的乘除运算例2．计算：(1) (1－i)2； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．【思路点拨】第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.举一反三：【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i2=－2+i，∴复数z所对应的点为（－2，1），故选B．【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题1】【变式2】计算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2），（3）【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题2】【变式3】计算：（1) （2） .【答案】(1) （2）.例3.计算【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意，不能出错。

解析】【总结升华】1 先写成分式形式2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)3 化简成代数形式就得结果举一反三：【变式1】复数等于（ ）．A．1+2i B．1－2i C．2+i D．2－i【解析】 ，故选C．【变式2】 计算：（1）（2）【答案】（1）.（2），类型三. 复数代数形式的四则运算例4. 计算下列各式：（1）；（2）解析】 （1）总结升华】 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算乘除，最后算加减．举一反三：【变式1】计算：（1）（2）（3） ； 【答案】（1）（2）（3）【变式2】计算：； 【答案】方法一：原式方法二（技巧解法）：原式考点4 共轭复数的有关计算【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】例5.，复数与复数的共轭复数相等，求x，y.【思路点拨】先将的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之即可求结果， 【解析】 【总结升华】以z、的概念与性质为基础，结合复数代数形式的四则运算，解决有关应用问题．举一反三：【变式1】 设复数Z满足：【答案】    【变式2】设z的共轭复数是，,，则＝ .【答案】设（），则，∵，且，∴，，当，时，；当，时，.故.类型四. 复数的几何意义例6. 如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1，2），B（―2，1）， C（―1，―2），求D点对应的复数。

思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部解析】 解法一：设D（x，y），则因为，∴（x―1，y―2）=（1，―3），得∴D点对应的复数为2―i解法二：∵A，C关于原点对称，∴O为正方形ABCD的中心设D（x，y），则B，D关于O点对称，即，得∴D点对应的复数为2―i总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实现量之间的转化，进而求相关问题．举一反三：【变式1】若在复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为―4+6i，则对应的复数是____答案】由复数加减法的几何意义可得，其对应的复数为 高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题4】【变式2】 已知为纯虚数，则复数z在复平面中对应的点Z组成什么图形？【答案】设，则所以即（）.以为圆心，为半径的圆去掉原点和后剩下的部分.。