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数学建模作业牧场管理问题班级应用统计学一班姓名罗超学号13071060107摘 要本文共分两个模型，分别针对放牧的羊数和每年保留的羊数，夏季要供给冬季的草量进行讨论第一个模型，我们以养一种羊的方式，即第一年只养一龄羊，第二年只养两龄羊（小羊在秋季卖出），而到第五年的时候将所有的5龄羊全卖，第6年又重新循环如此再根据所给的条件来对牧场所能放养多少羊进行求解第二个模型，在第一个模型的前提下，我们改进第一个模型，因为我们计算出秋季草量过剩而春季不足，而且考虑到鲜草和甘草的转化问题，所以我们提出相应的假设进行求解最后在第二个模型的基础上分别回答题目所提的三个问题关键词：线性规划 优化 牧场管理问题重述有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用.为解决这些问题我们得到了如下的背景材料：1）本地环境下这一品种草的日生长率为季节冬 春 夏 秋日生长率（g/m2） 0 3 7 42）羊的繁殖率 通常母羊每年产1~3只羊羔，5岁后被卖掉为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。

每只母羊的平均繁殖率为年龄0~1 1~2 2~3 3~4 4~5产羊羔数 0 1.8 2.4 2.0 1.83)羊的存活率 不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为年龄1~2 2~3 3~4 存活率0.98 0.95 0.80 4）草的需求量 母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为季节冬 春 夏 秋母羊2.05 2.40 1.15 1.30 羊羔 0 1.00 1.65 0注：只关心羊的数量，而不管它们的重量一般在春季产羊羔，秋季将全部公羊和一部分母羊卖掉，保持羊群数量不变问题分析由题意可知，我们需要解决如下三个问题：问题1：每年要保留多少的母羊羔；问题2：草场能容纳多少只羊；问题3：夏季应存储的多少草供冬季之用并且我们可知在春季牧场中含有0-1岁、1-2岁、2-3岁、3-4岁、4-5岁的五种年龄的羊，各龄羊数目之和即为牧场中羊的总数量。

根据题目提供的羊的繁殖率数据，再结合每年在春季的第一天产完全部羊羔及牧场里每年的相同时间各年龄段的羊群数目相等的假设，可以列出各龄羊之间变化的等量关系，以此来确定0-1岁母羊羔的存活率（每年生产的羊羔留到下一年的比例）及在春季的第一天牧场里的各种年龄的羊占总数目的比重，由此来确定每年要保留多少的母羊羔到下一年；根据问题1的求解结果，结合题中给出的某品种草的日生产率、羊对草的需求量数据，以各个季节羊群对草的消耗量不大于草场能够提供的草的数量为前提，找出羊群总数与草场面积之间的对应关系，进而确定在面积一定的草场内能容纳羊的总数量的同时计算出夏季应存储多少草供冬季之用我们从合理放牧使其牧场效益最大化角度出发，运用目标函数最优化的原理，建立了相应的数学模型模型假设(1)假设牧场的面积为：2)母羊只在春季产羊羔，公羊羔和母羊羔各占一半，当年秋季将全部公羊羔和一部份母羊羔卖掉，以保持每个年龄的母羊数量不变3)只考虑羊的数量，不考虑它们的体重4)假设平均每个月有30天，即每一个季节是90天5)假设养一种羊的方式为第一年只养1龄羊，第二年只养2龄羊（小羊在秋季卖出），到第五年的时候将所有5龄羊全卖，第六年又重新循环。

以上五点假设适用于各个模型，并且在不同的模型中还会给出不同的假设，具体可见模型的建立于求解变量说明表1 各年龄段母羊数量各年龄段母羊数量0—0.50.5—11—22—33—44—5表2 各季节的产草量各季节产草量春季夏季秋季冬季表3 各季节羊的吃草总量春季夏季秋季冬季以上符号说明适用于各个模型，并且在不同的模型中还会给出相应的符号说明，具体可见模型的建立与求解中的说明模型的建立与求解1 基本约束条件（1）各个年龄阶段羊的数量：由0—1年龄阶段母羊无繁殖能力可得：;由1—2年龄段母羊存活率为0.98可得：； 由2—3年龄段母羊存活率为0.95可得：；由3—4年龄段母羊存活率为0.80可得：； 每年龄段的母羊所生羊羔数的总和为：；（2）每季节的产草量：；；；；（3）各季节羊的吃草量：为了适应不同的情况，我们会建立三个不同模型，然后分析不同模型的结果并结合实际情况选出最佳模型2 模型一2.1模型建立1.决策目标：要得出草场能放牧多少羊，所以目标函数为羊的总数，即2.约束条件：我们把四季产草量看做一个整体，那么一年下来羊吃的草量不能大于一年草的总产量，即通过以上分析可以得到如下线性规划模型：2.2结果分析由上述线性规划模型用lingo求解可得出如下结果（求解过程见附录一）：由上述结果可知每年所保留下来的母羊羔为只,此牧场最多能放牧的羊数为只。

其中包括头羊羔，头1～2年龄段的母羊，头2～3年龄段的母羊，头3～4年龄段的母羊，头4～5年龄段的母羊在春季需要草，夏季需要草，秋季需要草，冬季需要草春季产草，夏季产草，秋季产草，冬季产草，仔细观察上面模型，我们不难发现草的产量每个季节是不一样的，尤其冬季草是完全不生长的，所以必须调节每季节的草，但此模型缺少夏季供给冬季的草量，再加上考虑鲜草向甘草的转化率，于是，我们添加假设建立一个更优模型3 模型二3.1模型建立1.决策目标：要得出草场能放牧多少羊，所以目标函数为羊的总数，即2.约束条件：我们假设春季秋季生长出的草自给自足，冬季所需的草由夏季提供，夏季保存到冬季的草重量不变，只剩50%的能量，且假设夏季保存给冬季的草的质量为，所以我们得到如下约束条件：冬季羊的吃草量：春季羊的吃草量不能大于本季节产草量：夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量加上留给冬季的草量：秋季羊的吃草量不能大于本季节产草量：冬季羊的吃草量等于夏季留下来的草量：通过以上分析可以得到如下线性规划模型：3.2结果分析由上述线性规划模型用lingo求解可得出如下结果（求解过程见附录二）：由上述结果可知每年所保留下来的母羊羔为只,此牧场能放牧的羊数为只。

其中包括头羊羔，头1～2年龄段的母羊，头2～3年龄段的母羊，头3～4年龄段的母羊，头4～5年龄段的母羊夏季保存在冬季的草量为：由结果可知春季的产草量为，羊吃的总草量为：，所以春季基本上没什么浪费夏季的产草量为：，夏季和冬季羊的总吃草量为：浪费了：秋季的产草量为：，羊的吃草量为：；浪费了：可见浪费了很多，这也是本模型的缺点因此，我们引入模型三来解决草量的浪费问题4 模型三4.1模型建立1.决策目标：要得出草场能放牧多少羊，所以目标函数为羊的总数，即2.约束条件：假设每个季节剩下的草将会留给下个季节用，所以我们不考虑能量的转换，可得到如下约束条件：夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量：秋季吃草量小于等于秋季羊的产草量家上夏季留下来的草量：冬季羊的吃草量小于等于秋季留下来的草量：春季羊的吃草量不能大于本季节产草量加上冬季吃剩的草量：通过以上分析可以得到如下线性规划模型：4.2 结果分析由上述线性规划模型用lingo求解可得出如下结果（求解过程见附录三）：解得：由上述结果可知每年所保留下来的母羊羔为只,此牧场能放牧的羊数为只其中包括头羊羔，头1～2年龄段的母羊，头2～3年龄段的母羊，头3～4年龄段的母羊，头4～5年龄段的母羊。

夏季的时候产草量是，吃草量是；留下了草给秋季；秋季的产草量是，吃草量是；留下了草给冬季；冬季的产草量为，吃草量为，留下了草给春季；春季的产草量为，吃草量为全年下来浪费的草量为达到最优模型结果的分析与检验由模型一可知每年所保留下来的母羊羔为291只,此牧场最多能放牧的羊数为只在春季需要草，夏季需要草，秋季需要草，冬季需要草春季产草，夏季产草，秋季产草，冬季产草，所以可知模型中缺少夏季供给冬季的草量，所以建立了模型二由模型二可知每年所保留下来的母羊羔为只,此牧场能放牧的羊数为只夏季保存在冬季的草量为：由结果可知春季的产草量为，羊吃的总草量为：，所以春季基本上没什么浪费夏季的产草量为：，夏季和冬季羊的总吃草量为：浪费了：秋季的产草量为：，羊的吃草量为：；浪费了：可见浪费了很多，这也是本模型的缺点因此，我们引入模型三来解决草量的浪费问题由模型三可知每年所保留下来的母羊羔为只,此牧场能放牧的羊数为只夏季的时候产草量是，吃草量是；秋季的产草量是，吃草量是；冬季的产草量为，吃草量为；春季的产草量为，吃草量为，由计算可知，这个方案的浪费为，所以模型三为最优方案7． 模型的推广与改进方向模型推广这个模型主要是解决一定面积的草地上，需要放养多少只羊才能使草地利用率最大化的问题。

结合模型的求解过程，可以推知，本模型可以推广到其他牲畜的放养问题，也可以是在一定面积或在一定容积的池塘养鱼等等8． 模型的优缺点1模型优点本文通过三个模型分析得到一系列关于羊群与牧场的草生长量之间的关系，再根据题目提供的各种数据，计算出可以放养的羊群的数目，包括每年应留下母羊的数目优点是计算的结果可以通过牧场的实际面积，得知羊群的具体数目，简单明了,并且通过对四季供草的优化来增加牧民的收益2模型缺点该模型在有些情况下，过多理想化，脱离了实际，应该更多的考虑现实的因素才能的到更好的模型9. 参考文献[1] 姜启源. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.[2] 韩中庚. 数学建模方法及其应用（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.[3] 韩中庚. 长江水质综合评价与预测的数学模型[J]. 工程数学学报，2005,22（7）：65-75.[4] CUMCM组委会．CUMCM问题[EB/OL]．。