小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-0星题（含解析）全国通用版.docx

几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率金字塔和沙漏模型C1.能够准确理解金字塔和沙漏模型2.能够用相似模型解决复杂的几何问题少考知识提要金字塔和沙漏模型· 金字塔模型 CDCA=CECB=DEAB      · 沙漏模型 ABCD=AODO=BOCO 精选例题金字塔和沙漏模型 1. ABCD 是平行四边形，面积为 72 平方厘米，E、F 分别为 AB、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为  平方厘米．【答案】    48【分析】    方法一：设 G、H 分别为 AD、DC 的中点，连接 GH、EF、BD．可得S△AED=14S平行四边形ABCD,对角线 BD 被 EF、AC、GH 平均分成四段，又 OM ∥ EF，所以DO:ED=24BD:34BD=2:3,OE:ED=ED−OD:ED=3−2:3=1:3,所以S△AEO=13×14S平行四边形ABCD=13×14×72=6(平方厘米),S△ADO=2×S△AEO=12(平方厘米).同理可得S△CFM=6(平方厘米),S△CDM=12(平方厘米).所以S△ABC−S△AEO−S△CFM=36−6−6=24(平方厘米),于是，阴影部分的面积为24+12+12=48(平方厘米).方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此 O,M 为 AC 的三等分点，S△ODM=16S平行四边形ABCD=16×72=12(平方厘米),S△AEO=14S△OCD=14×12×2=6(平方厘米),同理S△FMC=6(平方厘米),所以S阴影=72−12−6−6=48(平方厘米). 2. 如图，△ABC 中，DE，FG，MN，PQ，BC 互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，则 S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=  ．【答案】    1:3:5:7:9【分析】    设 S△ADE=1 份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，因此 S△AFG=4 份，进而有 S四边形DEGF=3 份，同理有 S四边形FGNM=5 份，S四边形MNQP=7 份，S四边形PQCB=9 份．所以有 S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=1:3:5:7:9. 3. 图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于 52 平方厘米，则阴影部分的面积是  平方厘米．【答案】    10.8【分析】    设大、小正方形的边长分别为 m 厘米、n 厘米（m>n），则m2+n2=52,所以m<8.若 m⩽5，则m2+n2<52×2=50<52,不合题意，所以 m 只能为 6 或 7．检验可知只有 m=6、n=4 满足题意，所以大、小正方形的边长分别为 6 厘米和 4 厘米．根据相似三角形性质，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得BG=3.6(厘米),所以阴影部分的面积为：12×6×3.6=10.8(平方厘米). 4. 如图，DE 平行 BC，若 AD:DB=2:3，那么 S△ADE:S△ECB=  ． 【答案】    4:15【分析】    根据金字塔模型 AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE:S△ABC=22:52=4:25， 设 S△ADE=4 份，则 S△ABC=25 份，S△BEC=25÷5×3=15 份，所以 S△ADE:S△ECB=4:15． 5. 如图，已知 DE 平行 BC，BO:EO=3:2，那么 AD:AB=  ． 【答案】    2:3【分析】    由沙漏模型得 BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得 AD:AB=DE:BC=2:3． 6. 梯形 ABCD 的面积为 12，AB=2CD，E 为 AC 的中点，BE 的延长线与 AD 交于 F，四边形 CDFE 的面积是  ．【答案】    83【分析】    延长 BF、CD 相交于 G．由于 E 为 AC 的中点，根据相似三角形性质，CG=AB=2CD,GD=12GC=12AB,再根据相似三角形性质，AF:FD=AB:DG=2:1,GF:GB=1:3,而S△ABD:S△BCD=AB:CD=2:1,所以S△BCD=13SABCD=13×12=4,S△GBC=2S△BCD=8.又S△GDFS△GBC=12×13=16,S△EBC=12S△GBC,所以SCDFE=1−12−16S△GBC=13S△GBC=83. 7. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是 5.04，则 S△ABC=  ．【答案】    20.16【分析】    由于 D，E 都是中点，则 BC=2DE，设 DE 为 1 份，则 BC 为 2 份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是 1 份，乙是 4 份，两个翅膀都是 2 份，由此可推出 △ADE 为 3 份，且每份为5.04÷(4−1)=1.68,所以S△ABC=1.68×(3+1+4+2+2)=20.16 8. 如图，△ABC 中，DE，FG，BC 互相平行，AD=DF=FB，则 S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=  ． 【答案】    1:3:5【分析】    设 S△ADE=1 份，根据面积比等于相似比的平方， 所以 S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S△ADE:S△ABC=AD2:AB2=1:9，因此 S△AFG=4 份，S△ABC=9 份，进而有 S四边形DEGF=3 份，S四边形FGCB=5 份，所以 S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=1:3:5． 9. 如下图所示，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D．张大伯常走这两条小路，他知道 DF=DC，且 AD=2DE．则两块田地 ACF 和 CFB 的面积比是  ．【答案】    1:2【分析】    方法一：如下图所示，ACF 和 CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边比 AF:FB．过 F 作 BC 的平行线，交 AE 于 G，则因为 DF=DC，所以三角形 CED 和 FGD 全等，GD=DE．又因为 AD=2DE，所以 D 和 G 是 AE 的三等分点，所以 AF:FB=AG:GE=1:2．方法二：如下图所示，连接 BD，设 S△CED=1(份)，则 S△ACD=S△ADF=2(份)．设 S△BED=x,S△BFD=y，则有 x+1=y2x=y+2，解得 x=3y=4．所以 S△ACF:S△CFB=(2+2):(4+3+1)=1:2．10. 在下图中，线段 AE、FG 将长方形 ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是 2 平方厘米、11 平方厘米，且 E 是 BC 的中点，O 是 AE 的中点．请问长方形 ABCD 的面积是   平方厘米．【答案】    28【分析】    如下图所示，延长 AE、DC 交于点 H．由于 E 是 BC 的中点，由 AB∥CH，有 AE:EH=BE:EC=1:1，由于 O 是 AE 中点，那么 AO:OH=1:3．由 AF∥GH，有 S△AOF:S△GOH=12:32=1:9．所以，S△GOH=2×9=18(平方厘米)，那么 S△CEH=18−11=7(平方厘米)．所以，S平行四边形ABCD=4S△ABE=4S△CEH=4×7=28(平方厘米)．11. 如下图所示，将边长 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是  平方厘米．【答案】    43.2【分析】    给图中标上字母，如下图．根据沙漏模型 OCOF=BCEF=812=23．所以 OF=12×32+3=7.2(厘米)．S△EFO=7.2×12÷2=43.2(平方厘米)．12. 如图，△ABC 中，AE=14AB，AD=14AC，ED 与 BC 平行，△EOD 的面积是 1 平方厘米．那么 △AED 的面积是  平方厘米． 【答案】    53【分析】    因为 AE=14AB，AD=14AC，ED 与 BC 平行， 根据相似模型可知 ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S△COD=4S△EOD=4 平方厘米，则 S△CDE=4+1=5 平方厘米，又因为 S△AED:S△CDE=AD:DC=1:3，所以 S△AED=5×13=53(平方厘米)．13. 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是 16，BG:GC=3:1，则四边形 EFGH 的面积 =  ． 【答案】    3【分析】    因为 FGHE 为平行四边形，所以 EC∥AG，所以 AGCE 为平行四边形． BG:GC=3:1，那么 GC:BC=1:4，所以 S平行四边形AGCE=14×S平行四边形ABCD=14×16=4． 又 AE=GC，所以 AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以 S平行四边形FGHE=34S平行四边形AGCE=34×4=3．14. 正六边形 A1,A2,A3,A4,A5,A6 的面积是 2009 平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点．请问下图中阴影六边形的面积是   平方厘米．【答案】    1148【分析】    方法一：如下左图，连接 A1A3,A1G,A6A3，过 B6 做 A6A3 的平行线 B6E，交 A1A3 于 E．因为空白的面积等于 △A2A3G 面积的 6 倍，所以关键求 △A2A3G 的面积，在 △A1A2A3 中用燕尾模型时，需要知道 A1D,A3D 的长度比，根据沙漏模型得 A1D=DE，再根据金字塔模型得 A1E=A3E，因此 A1D:A3D=1:3，在 △A1A2A3 中，设 S△A1A2G=1 份，则 S△A2A3G=3 份，S△A3A1G=3 份，所以 S△A2A3G=37S△A1A2A3=37×13×12S正六边形=114S正六边形，因此 S阴影=1−114×6S正六边形=47×2009=1148(平方厘米)．方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边。