【高考数学】1979年试题及解析答案.doc

高考数学】1979年试题及解析答案理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列. [Key] 1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-22y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0,∴ z+x-2y=0即 z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列,证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.∴ a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列. 2.化简: [Key] 3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少? [Key] 3.解:甲乙共含纯酒精甲乙共含水混合后,纯酒精与水之比为〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕. 4.叙述并且证明勾股定理. [Key] 4.解:略.(参考一般教科书) 5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得∠BAP=α,同时在B站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城? [Key] 5.解:自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.在直角三角形PAC中,AC=dctgα.在直角三角形PBC中,BC=dctgβ. ∴ S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).当 d≤D,即时,应向外国船发出警告. 6.设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证:△ABC是锐角三角形. [Key] 6.证法一:设VA=a,VB=b,VC=c,AB=p,BC=q,CA=r.于是 p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.由余弦定理,所以∠CAB为锐角.同理,∠ABC,∠BCA也是锐角.证法二:作VD⊥BC,D为垂足,因VA垂直于平面VBC,所以VA⊥BC又 BC⊥VD,所以BC垂直于平面VAD,从而BC⊥AD 即在△ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,因此,∠B和∠C都是锐角.同理可证∠A也是锐角. 7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x<0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算). [Key] 7.解:年增长率x应满足100(1+x)40=500, 即 (1+x)40=5,取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.答：每年约增长百分之四. 8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B. [Key] 8.证法一:连结CD.因∠CFD=90,所以CD为圆O的直径.由于AB切圆O于D,∴ CD⊥AB.又在直角三角形ABC中,∠ACB=90,∴ AC2=ADAB,BC2=BDBA.证法二:由△BDF∽△ABC,得 9.试问数列前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301) [Key] 9.解法一:这个数列的第k项(任意项)为所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数.因此,k应适合下列条件:解此不等式组:由(1)得 k≤14.2由(2)得 k>13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取 k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.9565>0, 由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为 10.设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.(1)在△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为│PD│,│PF│,│PE│并且满足关系│PD││PF│=│PE│2.求P点的轨迹.(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│. [Key] 10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x>0.直线OA的方程为y=xtgθ,直线OB的方程为y=-xtgθ,直线AB的方程为 x=h.又因为P点在∠AOB内,于是由条件│PD││PF│=│PE│2得x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2, (1)即 x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0.除以 cos2θ(0≠)得 (2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,即 x+2ycosθ=h. (Ⅱ)由(1),(Ⅱ)得x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ∴ 5y2cos2θ=x2sin2θ,由│ PD│+│PE││PF│可知y>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得解法二:设OP与正x轴的夹角为α,则│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα)=xsinθ-ycosθ,│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα=xsinθ+ycosθ.以下与上面的解法一相同。