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高频考点用空间向量解立体几何问题1 知识点 1. 空间直角坐标系的建立，空间直角坐标系中点的写法及空间向量的坐标：（1）从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系xyzO. 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面（2）右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向， 则称这个坐标系为右手直角坐标系本书建立的坐标系都是右手直角坐标系（3）空间右手直角坐标系的画法通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135， 而z轴垂直于y轴y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等（4）空间点的坐标表示对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，它们与x轴与y轴和z轴分别交与RQP,点RQP,在相应数轴上的坐标依次为, ,x y z，我们把有序实数对, ,x y z叫做点A的坐标，记为, ,A x y z（5）空间任意两点连线的向量坐标为终点坐标减去起点坐标，已知222111,zyxQzyxPx o . N x y o . M 平面直角坐标系空间直角坐标系1 2 1 2 3 N x y o . M x y o . M 平面直角坐标系空间直角坐标系z 高频考点用空间向量解立体几何问题2 第 2 题图那么121212,zzyyxxPQ，特别地起点在原点则终点坐标即为该向量的坐标。

若QP,两点的中点为M，则中点M的坐标为2,2,2212121zzyyxxM例 1. 如图，已知长方体DCBAABCD的边长为5,8,12AAADAB以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AAADAB,分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标2. 长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若ABBC2，AA14，试写出各点的坐标：知识点 2. 向量的直角坐标运算：(1) 设111,ax y z；222,bxyz则121212,abxxyy zz；.121212,abxxyyzz；111,axyz；数量积：121212cos,a ba ba bx xy yz z；模：222111axyz；212212212zzyyxxPQ夹角公式 :121212222222111222cos,zx xy yz za ba ba bxyxyz；向量a在向量b上的投影：| bba2) 若,a b为两非零向量，则0aba b1212120a bx xy yz z. abaab使有且只有一个实数,)0(/高频考点用空间向量解立体几何问题3 基础训练1. 已知空间三点A、B、C坐标分别为 (0 ，0，2) ，(2， 2，0)， (-2 ，-4 ，-2) ，点P在xOy平面上且PAAB，PAAC，则P点坐标为 (-8,6,0) . 2. 向量a(1， 2，-2) ，b(-2 ，-4 ， 4)，则a与b( C ) A.相交 B. C.平行D.以上都不对3.am, 3, 8，5 ,6 ,2bn，若mn，则ba的值为 ( C ) A.0 B.25 C.221D.8 4设),2, 3(),3 ,4 ,(zbxa，且ba/，则xz等于（ B ）（A）4（B）9（C）9（D）9645. 如果三点)2,3 ,(),1 ,4,2(),2,5 ,1 (baCBA在同一直线上，则C A.3,3 ba B.1,6 ba C.2, 3 ba D.1,2 ba6. 与) 1, 0, 2(a共线且满足方程10ba的向量b_)2, 0, 4(_ 7.2,2 ,2, 5, 1mmba，若ab，则m的值为 ( B )A.0 B.6 C.-6 D.6 8已知向量)2, 0, 1(),0, 1 , 1(ba，且bak与ba2互相垂直，则k值是（）（A）1（B）51（C）53（D）579. 若22(0,1, 1),(3,2,)abxx，且()aba，则实数的值是（A）A.1 B.0 C.1 D.210.a(2 ，-2 ，-3) ，b(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为 ( C ) A.85854 B.8569 C.85854 D.0 11已知)2,2, 2(),3,0, 0(),1 ,0,0(),1 ,0, 1(DCBA，则向量CDAB,夹角的余弦值为（）（A）32（B）32（C）31（D）3112. A(1 ，1， -2) 、B(1 ，1，1) ，则线段AB的长度是 ( C )A.1 B.2 C.3 D.4 13设)0 , 1 , 0(),8 ,2, 3(),2, 1 , 1(OCOBOA，则线段AB的中点P到C的距离是（ D ）（A）213（ B）453（C）253（D）25314已知)0, 1 , 3(),1 , 1,2(),1 , 0, 1 (cba，则cba2（）高频考点用空间向量解立体几何问题4 （A）10（B）102（C）103（D） 5 15. ABC的三个顶点分别是)2, 1, 1(A，)2 ,6, 5(B，) 1,3 , 1(C，则 AC边上的高BD长为（ A ）A.5 B.41 C.4 D.52答案：由于4,cosACACABACABABAD，所以522ADABBD知识点 3. 平面的法向量及求法：（1）法向量概念：如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。

2）法向量的求法：例 1.如图，在正方体ABCD-A1B!C1D1中 G、E、F 分别为 AA1、AB、BC 的中点，求平面GEF 的法向量略解：以 A 为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，21,0) 、F(21，1,0) 、G(1,0，21)由此得)21,21, 0(GE)021,21(FE设平面的法向量量为),(zyxn由nGE及nFE可得0212102121yxFEnzyGEnyzyx令 y=1 取平面的一个法向量为) 1 , 1 , 1(n2.如图ABC 是以B 为直角的直角三角形，SA平面 ABC ，SA=BC=2 ，AB=4 ，N、D 分别是 AB 、BC的中点1）指出平面ADN 的法向量（2）求平面SDN 的法向量解：以 B 为原点， BA 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系，易得S(4、0、2)，N(2、0、0) D(0、 1、0)， 由于 SA 平面 ABC 故可取平面ADN 的法向量为1n=(0、0、1)又设平面SDN 的法向量为2n=(x、 y、z) DN=(2、-1、0) SN=(-2、0、-2) 由00SNnDNn可得02202zxyxxzxy2，可取该平面的法向量2n=(1、2、-1) A B C C1D1A1B1A E G F S A B C N D x y z 高频考点用空间向量解立体几何问题5 NMABDCO知识点 4. 利用空间向量解立体几何问题1. 利用向量证明平行（1）线线平行方法：abaab)0(/（2）线面平行方法：线垂直于平面的法向量或内外共线在图2-1 中 ,m向是平面的法向量，a是直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0am） 。

3）面面平行方法：一个平面的法向量垂直于另一个平面，在图2-2 中, m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（nm） 2. 利用向量证明垂直（1）线线垂直方法：0aba b（2）线面垂直方法：线垂直面内两相交直线或线平行面的法向量，在图2-3 中,m向是平面的法向量，a是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（am） ；或a垂直于面内两相交直线所在向量3）面面垂直方法：两面的法向量垂直，在图2-4 中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0nm）1. 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为 1 的菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点图 2-1 ma 图 2-2 mn图 2-3 a ma图 2-4 mn高频考点用空间向量解立体几何问题6 xyzNMABDCOP证明：直线MNOCD平面；解：作APCD于点P, 如图 ,分别以AB,AP,AO所在直线为, ,x y z轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN, (1) 证明22222(1, 1),(0, 2),(, 2)44222MNOPOD设平面OCD的法向量为( , , )nx y z, 则0,0n OPn OD即2202222022yzxyz取2z, 解得(0,4,2)n22(1, 1) (0,4,2)044MN nMNOCD平面2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F平面ADE. 解：如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设DAi，DCj，1DDk，以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz，则AD（， 0，），FD1(0,21,-1)AD2FD1(-1 ，0，0) 2 (0 ，21，-1) 0，ADD1F. 又AE(0 ，1，21) ，FD1(0 ，21，-1) ，AE2FD1(0 ，1，21) 2 (0，21，-1) 21-210. AED1F，又AEADA， D1F平面ADE. 3已知PNM、分别是正方体1111DCBAABCD中的棱CDBCCC、1的中点 . 求证 :PA1平面DMN. 第 2 题图ABCDA1B1C1D1NMP高频考点用空间向量解立体几何问题7 3. 利用向量求角 (1) 、求异面直线所成角：向量a和b的夹角ba,( 或者说其补角) 等于异面直线a和b的夹角 : （设异面直线的夹角为）coscos,a ba bab(2) 、求线面角：如图2-1，设n是平面的法向量， AB是平面的一条斜线，A，则 AB与平面所成的角为：（设直线AB与面的夹角为）图 2-1-1:.|arccos2,2ABnABnABn图 2-1-2:2|arccos2,ABnABnABn(3) 、求二面角的平面角: 设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：|arccos,nmnmnm（图 2-2） ;|arccos,nmnmnm( 图 2-3) 若法向量针对相应面一个指向，一个背离，则两法向量所成角的大小即为二面角的平面角。

即 coscos,m nA B 图 2-1-2 C n|,cos|sinABnm图 2-2 nm图 2-3 n图 2-1-1 B nA C 高频考点用空间向量解立体几何问题8 1. 长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若ABBC2，AA1 4，试用向量法求：直线CFEA与1的夹角的余弦值的大小. 解：如图，建立空间坐标系，则D(0 ，0，0) 、A(2 ，0， 0)，B(2 ，2， 0) 、C(0 ，2，0) 、A1(2，0，4) 、B1(2 ，2，4) 、C1(0 ，2，4). 由题设可知E(2 ，1，0) ，F(1 ， 2，4). 令CFEA与1的夹角为 cos171611CFEACFEA. CFEA与1的夹角为 -arccos1716. 直线A1E与FC的夹角为arccos17162.如图，在四棱锥ABCDP中， 底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点，已知2AB，22AD，2PA，求：异面直线BC与AE所成的角的大小 解 解法一 如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2, 0, 0)，C(2, 22,0)，E(1, 2, 1)，) 1,2, 1 (AE，)0,22, 0(BC. 设AE与BC的夹角为，则222224|cosBCAEBCAE， =4. 由此可知，异面直线BC 与 AE 所成的角的大小是4解法二 取 PB 中点 F，连接 EF、AF，则EFBC，从而 AEF（或其补角。