高中数学1.2.3 空间中的垂直关系课件新课标人教A版必修2.ppt

1.2.3 空间中的垂直关系空间中的垂直关系(1)一一. 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义1．． 两直线互相垂直：两直线互相垂直： 如果两条直线相交于一点或经过平移如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且后相交于一点，并且交角为直角交角为直角，则称这，则称这两条直线两条直线互相垂直互相垂直 观察旗杆与地面内的每一条观察旗杆与地面内的每一条直线有什么关系，旗杆与地面的直线有什么关系，旗杆与地面的关系呢？关系呢？2．． 直线与平面垂直：直线与平面垂直： 如果一条直线（如果一条直线（l）和一个平面（）和一个平面（α）相）相交于点交于点A，并且，并且a和这个平面内过点和这个平面内过点A的的任任何直线都垂直何直线都垂直，则该直线垂直于这个平面，，则该直线垂直于这个平面，记作记作l⊥⊥α，这条直线叫做平面的，这条直线叫做平面的垂线垂线，这，这个平面叫做个平面叫做直线的垂面直线的垂面，交点叫做，交点叫做垂足垂足αlAab 在几何中，定义兼具在几何中，定义兼具两重性两重性，既是，既是判定判定又是又是性质性质判定是指：如果一条直线垂直一个平面内判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是面垂直，这是判定证明直线与平面垂直判定证明直线与平面垂直的的一种方法；一种方法；性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。

条直线 这是在这是面垂直问题线面垂直问题中经常要用到的中经常要用到的一个结论一个结论即即判断正误：判断正误：如果一条直线如果一条直线 l 和一个平面内的和一个平面内的无数条无数条直直线都垂直，则直线线都垂直，则直线 l和平面和平面 α互相垂直互相垂直.二二. 直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理1．定理：．定理：①①文字语言：如果一条直线与平面内的两文字语言：如果一条直线与平面内的两条条相交直线相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，则这条直线与这个平面垂直垂直.②②图形语言：图形语言：③③符号语言：符号语言：a α，，b α，，a∩b=O，，l⊥⊥a，，l⊥⊥b，， l⊥⊥α. 实验：过实验：过△△ABC 的顶点的顶点A 翻折纸片，得到折翻折纸片，得到折痕痕AD ，且使折痕，且使折痕AD⊥⊥BC，，将翻折后的纸片将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（竖起放置在桌面上，（BD、、DC 与桌面接触）与桌面接触）.D DC CB BA A已知已知： ， ． 求证求证： ． 证明：设证明：设m是是αα内的内的任意任意一条直线．一条直线． 推论推论1 ：如果两条平行直线中的一条垂：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．平面． 推论推论2：：如果两条直线如果两条直线垂直垂直于同一个平于同一个平面，那么这两条直线面，那么这两条直线平行平行 。

已知：直线已知：直线l⊥⊥平面平面α，直线，直线m⊥⊥平面平面α，，垂足分别为垂足分别为a，，b，求证：，求证：l//m.证明：假设直线证明：假设直线m与直线与直线l不不平行过直线平行过直线m与平面与平面α的交的交点点B作直线作直线m’//l，，由直线与平面垂直的判定定理的推论由直线与平面垂直的判定定理的推论1可可知知m’⊥⊥α. 设设m和和m’确定的平面为确定的平面为β，，α与与β的交线的交线为为a，，因为直线因为直线m和和m’都垂直于平面都垂直于平面α，，所以所以 直线直线m和和m’都垂直于交线都垂直于交线a，，因为在同一平面内，通过直线上一点并因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线所以直线m与与m’必重合，必重合，即有即有l //m.例例1．过一点和已知平面垂直的直线只有．过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面已知：平面α和一点和一点P.求证：过点求证：过点P与与α垂直的直线只有一条垂直的直线只有一条证明：不论证明：不论P点在点在α外或内，设外或内，设PA⊥⊥α，垂，垂足为足为A(或或P)，， 如果过如果过P点，除直线点，除直线PA⊥⊥α外，还有一条直外，还有一条直线线PB⊥⊥α，设，设PA，，PB确定的平面为确定的平面为β, 且且α∩β=a，， 于是在平面于是在平面β内过点内过点P有两条直线有两条直线PA，，PB垂直于交线垂直于交线a，， 这是不可能的。

所以过点这是不可能的所以过点P与与α垂直的直垂直的直线只有一条线只有一条例例1、有一根旗杆、有一根旗杆AB高高8m，它的顶端，它的顶端A挂挂有一条长有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一和旗杆脚不在同一条直线上条直线上)C、、D, 如果这两点都和旗杆脚如果这两点都和旗杆脚B的距离是的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为，那么旗杆就和地面垂直，为什么？什么？解：在解：在△△ABC和和△△ABD中，因为中，因为AB=8，，BC=BD=6，，AC=AD=10，，所以所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2. AB2+BD2=82+62=102=AD2. 所以所以∠∠ABC=∠∠ABD=90°，， 即即AB⊥⊥BC，，AB⊥⊥BD，， 又知又知B，，C，，D三点不共线，三点不共线，因此因此AB⊥⊥平面平面BCD，即旗杆和地面垂直即旗杆和地面垂直例例3．已知：直线．已知：直线l⊥⊥平面平面α，垂足为，垂足为A，直，直线线AP⊥⊥l. 求证：求证：AP在在α内证明：设证明：设AP与与l 确定的平面为确定的平面为β，假设，假设AP不在不在α内，内，则设则设α与与β相交于直线相交于直线AM。

因为因为l⊥⊥α，，AM α,所以所以l⊥⊥AM，，又已知又已知AP⊥⊥l，于是在平面，于是在平面β内，内，过点过点A有两条直线垂直于有两条直线垂直于l，，这是不可能的，这是不可能的，所以所以AP一定在一定在α内直线与平面垂直的判定方法直线与平面垂直的判定方法3.如如果果两两条条平平行行直直线线中中的的一一条条垂垂直直于于一一个个平面，那么另一条也垂直于同一个平面平面，那么另一条也垂直于同一个平面1.定定义义：：如如果果一一条条直直线线垂垂于于一一个个平平面面内内的的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.2.判判定定定定理理:如如果果一一条条直直线线垂垂直直于于一一个个平平面面内内的的两两条条相相交交直直线线，，那那么么此此直直线线垂垂直直于于这这个平面4.如果直线和平面所成的角等于如果直线和平面所成的角等于90°,则这则这条直线和平面垂直条直线和平面垂直练习题：练习题： 1 、如果平面外的一条直线上有两、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（和平面的位置关系是（ ）） A.平行平行 B.相交相交 C.平行或相交平行或相交C2、在空间，下列命题、在空间，下列命题（（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；）平行于同一直线的两条直线互相平行；（（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；）平行于同一平面的两条直线互相平行；（（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。

垂直于同一平面的两条直线互相平行正确的是（正确的是（ ））A. (1)(3)(4) B. (1)(4) C. (1) D.四个命题都正确四个命题都正确B3．． 如图，正方体如图，正方体ABCD－－A1B1C1D1中，中，O是底面是底面ABCD的中心，的中心，B1H⊥⊥D1O，，H为为垂足，求证：垂足，求证：B1H⊥⊥平面平面AD1C.证明：连接证明：连接B1D1，，∵∵ B1B⊥⊥AB，，B1B⊥⊥BC，，∴∴ B1B⊥⊥平面平面ABCD，， ∴∴ B1B⊥⊥AC，，∵∵ 又又AC⊥⊥BD，， ∴∴ AC⊥⊥平面平面BB1D1D，，又又B1H平面平面BB1D1D，，∴∴ AC⊥⊥B1H，，又又B1H⊥⊥D1O，，∴∴ B1H⊥⊥平面平面AD1C.。