山东省高中数学《2.4等比数列》第1课时课件 新人教A版必修5.ppt

•【课标要求】• 1．理解等比数列定义，会用定义判断等比数列．• 2．掌握等比数列的通项公式．• 3．掌握等比中项的定义并能解决相应问题．•【核心扫描】• 1．等比数列的判定．(重点)• 2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点)• 3．等比中项及应用第第1课时课时 等比数列的概念及通项公式等比数列的概念及通项公式2.4　　等比数列等比数列•等比数列的概念•如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比等于_________，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，通常用字母q表示(q≠0)．自学导引自学导引1．． ：：常数列一定是等比数列吗？常数列一定是等比数列吗？提示提示：不一定．当常数列为非零常数列时，此数列为等比：不一定．当常数列为非零常数列时，此数列为等比数列，否则不是．数列，否则不是．2同一常数同一常数公比公比•等比中项•等比数列的通项公式•已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝______.2．．等比中项等比中项3．．a1qn－－1• ：推导等比数列的通项公式有哪些方法？•提示：等比数列的通项公式的推导有下列三种方法：•归纳法：由等比数列的定义可以得到a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，归纳得an＝a1qn－1.•迭代法：因为{an}是等比数列，•所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a1qn－1，所以an＝a1qn－1.•等比数列定义的理解•(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．•(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．名师点睛名师点睛1．．•等比中项的理解•(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．•(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．•(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．•等比数列的通项公式•(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．•(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．2．．3．．题型一　题型一　等比数列通项公式的应用等比数列通项公式的应用• 在等比数列{an}中，•(1)a4＝2，a7＝8，求an；•(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.•[思路探索] 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．【【例例1】】•由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.•由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. a1和和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于据条件，建立关于a1和和q的方程组，求出的方程组，求出a1和和q.• 在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.【【变式变式1】】 • 等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．•[思路探索] 本题主要考查等比数列的基本运算和等比中项的求法．题型题型二二　　等比中项的应用等比中项的应用【【例例2】】• 已知b是a与c的等比中项．•求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．•证明　∵b是a和c的等比中项，•∴b2＝ac，且a，b，c均不为零，•∴(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2•＝a3c＋2a2c2＋ac3.•又∵(a2＋b2)·(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2•＝a3c＋a2c2＋a2c2＋ac3•＝a3c＋2a2c2＋ac3.•∴(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)．•又∵a2＋b2≠0，b2＋c2≠0，•∴ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．【【变式变式2】】 • 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.•(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；•(2)求数列{an}的通项公式．•审题指导 (1)变形递推公式，按等比数列的定义证明；•(2)求出{an＋1}的通项公式，即可求出an.•[规范解答] (1)证明　法一　因为an＋1＝2an＋1，•所以an＋1＋1＝2(an＋1)．•由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.•所以数列{an＋1}是等比数列． (6分)题型题型三三　　等比数列的判定等比数列的判定【【例例3】】•∴数列{an＋1}是等比数列． (6分)•(2)解　由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．•所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. (12分)• 判断一个数列是否是等比数列的常用方法是：•(1)定义法•(2)等比中项法•an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．•(3)通项公式法•an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．• 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．•证明　∵Sn＝2an＋1，•∴Sn＋1＝2an＋1＋1.•∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.•∴an＋1＝2an，•又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.•又由an＋1＝2an知an≠0，•∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.【【变式变式3】】 • 通过观察图形特征，帮助学生发现图形所表示数的规律和特点．一方面，培养学生发现图形特征和规律的能力；另一方面，在单纯发现数列的规律比较困难的情况下，可以借助图形帮助解决；反之，在观察图形特征比较困难的情况下，也可以考虑从观察数列特点入手进行解决．• 图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……试求第n个图形的边长和周长．方法技巧方法技巧　　数形结合思想在等比数列中的应用数形结合思想在等比数列中的应用【【示示例例】】•[思路分析] 关键是找到周长与n的关系，即找到由周长所构成的数列的通项公式．•解　设第n个图形的边长为an.•要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数．第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为•方法点评 解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改变，但其变化规律不改变．事实上，给出的图形只是问题的载体，我们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．。