（第九章直线、平面、简单几何体）.doc

数学驿站 9.1 平面教学目标　　1．掌握平面的基本性质，会画图表示平面；　　2．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系；　　3．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题；　　4．通过对公理、推论的理解和应用及三个推论的证明，提高学生的逻辑推理能力； 　　5．通过画图，逐步培养学生的空间想象能力，使他们在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念；　　6．通过对平面基本性质的三个公理、三个推论的学习，认识我们所处的世界是一个三维空间，由此培养学生的辨证唯物主义世界观教学建议（一）教材分析1．  知识结构2．重点难点分析　　重点：平面的有关概念和基本性质；难点：建立空间概念，正确应用符号语言．　　（1）平面和点、直线一样是构成空间图形的基本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念．本节内容主要介绍了平面的有关概念及其基本性质（三个公理和三个推论）．平面的基本性质是研究空间图形的基本理论基础，是立体几何的基础核心，因而是本节内容的重点．本节的难点是准确理解平面的有关概念及其基本性质，建立空间概念，正确使用图形、符号、文字三种数学语言并能互译．　　（2）如何理解“平面四边形表示的平面是无限延展的”？这是因为立体几何中表示平面是采用“用有限的图形表示无限的平面”的方法．事实上，如果一条直线上有两个点在一个用平行四边形表示的平面内，根据公理1,这条直线上所有的点都落在这个平面内．而直线是无限延伸的，倘若这个平面是有限的，那么无限的直线上的所有点怎么能都在有限平面内呢？对于平面的概念注意从三个方面加深理解：无边界性、无限延展性、无厚薄性．　　（3）平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，学习时应切实注意以下几点：　　①会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理；　　②熟悉三个公理的作用．公理1是判定直线在平面内的依据，亦作为判定点在平面内的方法使用；公理2是判定两个平面相交的依据，亦作为判定几个点在两个相交平面的交线上（共线）的方法使用；公理3是确定一个平面的依据，亦作为判定几个点共面的依据．　　③学习公理3及三个推论时务必透彻理解“有且只有一个”的含义．“有且只有一个”是由“有一个”和“只有一个”复合而成的，其中前者说明对象是存在的，后者说明对象是唯一的．“有且只有一个”说明对象具有存在性和唯一性两个方面．数学中的一些对象具有存在性和唯一，也有一些对象具有存在性而无唯一性，如与给定的三角形 相似的三角形是存在的，但不是唯一的．当然，还有一些对象没有存在性，从而也就谈不上有唯一性．因此切不可用“只有一个”代替“有且只有一个”．　　（4）共面问题的证明常用同一法，同一法指的两个互逆命题，若其中一个成立，则另一个也成立，即两个互逆命题是等价的，例如，我们要证明“某个图形具有某种特性”只要证明“具有某种特征的图形是某个图形”即可．同一法是间接证题方法．（二）教法建议　　（1）本节是立体几何学习的基础．学习时应充分联系生活中的实例，充分利用实物，尽快建立空间观念．　　联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练．由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力．　　（2）教学中应注意借助学生已有的平面图形知识基础，引入新知识，提出新问题，使学生自然地进入新的学习阶段．　　联系平面图形的知识，利用对比、引申、联想等方法，找出平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力．　　（3）在学习平面概念时，对平面的无限延展性，可以让学生联系直线的无限延伸性理解，平面是向四周无限延展的，平面把空间分成两部分；　　在画平面时，有时根据具体需要，也可用其他的平面图形，如菱形、封闭的曲线图形等表示；　　（4）从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系．　　用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，就有可能收到更好的效果，给学生留下的印象更为深刻．　　（5）对于公理1,可先讨论直线与平面的公共点的个数的各种情况，以区分直线与平面的三种位置关系：相交、平行、直线在平面内，并用直线的伸展性理解平面的延展性；对于公理2,可先讨论两个平面的公共点个数的各种情况，以区分两平面的两种位置关系：相交和平面，并体会直线与平面的关联；对于公理3及其3个推论，应从“有一个（至少有一个）平面”和“只有一个（至多有一个）平面”两方面去理解．教学设计示例（一）9.1 平面 第一课时教学目标：　　1．理解平面的概念，掌握平面的画法及记法．　　2．理解并记住平面的基本性质．　　3．初步掌握用符号表示点、线、面间的关系．教具准备：投影胶片、三角板、模型．教学过程：［设置情境］日常生活中，哪些东西给我们以平面的形象？平面是如何定义的，怎么画？平面有哪些基本性质呢？［探索研究］1．平面的概念　　常见的桌面、黑板面、平静的水面等，都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的．与之不同的是几何里的平面是无限延展的．　　注意：平面的概念是用描述性的语言进行说明的．2．平面的画法及表示　　通常我们画出直线的一部分来表示直线．同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都很像平行四边形．因此，通常画平行四边形来表示平面（图1）．当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成 ，横边画成邻边的2倍长．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画（图2）．有时根据需要也可用其他平面图形（例如三角形等）表示平面．　　平面通常用一个希腊字母 、 、 等来表示，如平面 、平面 、平面 等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面 （图1）．　　平面内有无数个点，平面可以认为是由它内部的所有的点组成的点集，其中每个点都是它的元素，点 在平面 内，记作 ；点 在平面 外，记作 （图3），这里的平面看作是集合，而点看作是元素． 3．平面的基本性质　　我们下面学习平面的基本性质的三个公理．所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据．公理1  如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．　　从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集．　　直线也是由无数个点组成的集合，点 在直线 上，记作 ；点 在直线 外，记作 ，如果直线 上所有的点都在平面 内，或者说平面 经过直线 ，记作 ．否则，就说直线 在平面 外，记作 ．　　公理1的含义如图4所示，也可以用符号表示为， ， ， ．　　公理1为证明直线在平面内提供了依据．　　公理2  如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．　　注意：没有特别说明的“两个平面”，以后均指不重合的两个平面．　　两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线．　　如果平面 和 有一条公共直线 ，就说平面 和 相交，交线是 ，记作 ．　　公理2的含义如图5所示，也可以用符号表示为且 ．　　公理2为证明若干点共线提供了一条新的途径．　　公理3  经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（图6）．　　老师问学生：经过一点、两点或同一直线上的三点有多少个平面？过不在同一直线上的四点呢？前一问有无数个平面，后一问不一定有平面．　　公理中，“有且只有一个”的含义：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一．不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则未表达出存在性的含义．　　过 、 、 三点的平面可记作“平面 ”．［演练反馈］　　1．举例说明生活中本节公理的应用．　　2．填空：　　正方体的各顶点如图7所示，正方体的三个面所在平面 、 、 分别记作 、 、 ，试用适当的符号填空．　　（1） ，　　　　　 ．　　（2） ， ．　　（3） ， ．             　　（4） ， ．　　（5） ， ， ．3．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．　　（1） ， 　　（2） ， 　　（3） 　　（4） ， ， ， ［参考答案］1．（略）2．（1） ；   （2） ；     （3） ；    （4） ；    （5） ； ； 3．（1）点 在平面 内，点 不在平面 内．　（2）直线 在平面 内，直线 不在平面 内．　（3）平面 与 交于直线 ．　（4）直线 经过平面 外一点 和平面 内一点 ．图形略．［总结提炼］［学生回答，教师补充完善．］本节课主要学习了：　　1．平面的概念、画法及记法．　　2．平面的基本性质：公理，公理2，公理3．　　3．点在（不在）平面内，直线在（不在）平面内，两个平面交于一条直线等的符号的表示．（四）布置作业课本P7～P8习题9.1  1，2（1），3，4．［参考答案］略．（五）板书设计1．平面的概念2．公理1公理2公理33．练习教学设计示例（二）9.1 平面 第二课时教学目标：理解掌握公理3的三个推论．教具准备：投影仪、胶片、三角板．教学过程：［设置情境］我们知道，不共线三点确定一个平面，那么还有其他的确定一个平面的情况吗？［探索研究］　　推论1  经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（图1（1））．　　证明：（存在性）设点 不在直线 上，在直线 上任取两点 和 ，于是有 ， ， ，即 、 、 为不共线的三点．根据公理3，经过 、 、 三点有一个平面 ，因为 ， ，所以由公理1可知 ，即平面 是经过直线 和点 的平面．　　（惟一性）又根据公理3，经过不共线的三点 、 、 的平面只有一个，所以经过直线 和点 的平面只有一个．　　推论1的证明分两部分来证，即第一要证存在一个平面，第二要证这个平面是惟一的．　　推论1可以用符号表示为　　 有且只有一个平面 ，使 ， ．　　推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面（图1（2））．　　推论2的证明可口头讲一下，详细过程可见“教参”．　　我们规定：直线 和 相交于点 ，记作 ，不可以只写 ，需将交点字母写出来，也不能记作 ．　　推2可以用符号表示为　　 有且只有一个平面 ，使 ， ．　　推论3  经过两条平行直线，有且只有一个平面（图1（3））．　　推论3的证明分两步进行，第一步证存在性，要利用平行线的定义，即在一个平面内，两条没有公共点的直线叫做平行线，第二步证惟一性，与推论1类似，也可见“教参”．　　推论3可以用符号表示为　　 有且只有一个平面 ，使 ， ．　　“有且只有一个平”也可以说成“确定一个平面”．　　公理3及它的三个推论给出了确定一个平面时经常使用的一些条件，下面通过一道例题来学习基本性质的应用．　　例题  如图2，直线 ， ， 两两相交，交点分别为 、 、 ，判断这三条直线是否共面并说明理由．　　解：这三条直线共面．理由如下：　　　　∵直线 和 相交于点 ．　　　　。